Упр.30.10 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. Докажите, что заданная функция убывает: а) $$y=\sin 2x-3x$$; б) $$y=\cos 3x-4x$$.

Исследуем функцию на монотонность с помощью производной.

а)

$$y=\sin 2x-3x$$

Найдём производную:

$$y’=(\sin 2x-3x)’=2\cos 2x-3$$

Так как $$-1\le \cos 2x\le 1,$$ то

$$-2\le 2\cos 2x\le 2$$

Следовательно,

$$-5\le 2\cos 2x-3\le -1$$

Значит, $$y'<0$$ при всех $$x\in \mathbb{R}$$, поэтому функция $$y=\sin 2x-3x$$ убывает на всей числовой прямой.

б)

$$y=\cos 3x-4x$$

Найдём производную:

$$y’=(\cos 3x-4x)’=-3\sin 3x-4$$

Так как $$-1\le \sin 3x\le 1,$$ то

$$-3\le -3\sin 3x\le 3$$

Следовательно,

$$-7\le -3\sin 3x-4\le -1$$

Значит, $$y'<0$$ при всех $$x\in \mathbb{R}$$, поэтому функция $$y=\cos 3x-4x$$ убывает на всей числовой прямой.

Ответ

а) $$y=\sin 2x-3x$$ убывает на $$\mathbb{R}$$; б) $$y=\cos 3x-4x$$ убывает на $$\mathbb{R}$$.