Упр.3.5 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. Выясните, существует ли обратная функция для заданной функции. Если да, то задайте обратную функцию аналитически, постройте график заданной и обратной функций:
   а) $$y=x^2+4x-8$$, $$x\in[-3;0]$$;
   б) $$y=x^2+4x-8$$, $$x\in(-\infty;-2)$$;
   в) $$y=-x^2+2x+6$$, $$x\in[0;3]$$;
   г) $$y=-x^2+2x+6$$, $$x\in[3;+\infty)$$.

а) $$y=x^2+4x-8,\quad x\in[-3;0]$$

Найдём абсциссу вершины параболы:

$$x_0=-\frac{b}{2a}=-\frac{4}{2\cdot 1}=-2.$$

Точка минимума принадлежит отрезку $$[-3;0]$$, значит на этом промежутке функция сначала убывает, затем возрастает. Следовательно, она не является взаимно однозначной, и обратная функция не существует.

б) $$y=x^2+4x-8,\quad x\in(-\infty;-2)$$

Приведём к квадрату двучлена:

$$y=x^2+4x-8=(x+2)^2-12.$$

Так как $$x<-2$$, то $$x+2<0$$, поэтому

$$x+2=-\sqrt{y+12}.$$

Тогда

$$x=-\sqrt{y+12}-2.$$

Заменяя переменные местами, получаем обратную функцию:

$$y=-\sqrt{x+12}-2,\quad x>-12.$$

в) $$y=-x^2+2x+6,\quad x\in[0;3]$$

Абсцисса вершины параболы:

$$x_0=-\frac{b}{2a}=-\frac{2}{2\cdot(-1)}=1.$$

На отрезке $$[0;3]$$ функция сначала возрастает, затем убывает, значит она не взаимно однозначна. Обратная функция не существует.

г) $$y=-x^2+2x+6,\quad x\in[3;+\infty)$$

Приведём выражение к квадрату двучлена:

$$y=-x^2+2x+6=-(x-1)^2+7.$$

Тогда

$$x-1=\sqrt{7-y}.$$

Так как $$x\ge 3$$, то $$x-1\ge 2$$, значит берём положительный корень:

$$x=\sqrt{7-y}+1.$$

Следовательно, обратная функция:

$$y=\sqrt{7-x}+1,\quad x\le 3.$$

Ответ: а) обратной функции не существует; б) $$y=-\sqrt{x+12}-2$$; в) обратной функции не существует; г) $$y=\sqrt{7-x}+1$$.