Упр.3.3 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

Для заданной функции найдите обратную; постройте график заданной функции и обратной функции:

а) $$y=x^2,\ x\ge 0$$;
б) $$y=\sqrt{x}$$;
в) $$y=(x-1)^2,\ x\le 1$$;
г) $$y=\sqrt{-x}$$.

Найдём обратные функции, меняя местами $$x$$ и $$y$$ и учитывая область определения исходной функции.

1. $$y=x^2,\quad x\ge 0.$$

   Тогда $$x=y^2,\quad y\ge 0.$$

   Следовательно, обратная функция:

   $$y=\sqrt{x},\quad x\ge 0.$$

2. $$y=\sqrt{x},\quad x\ge 0.$$

   Тогда $$x=\sqrt{y},\quad y\ge 0,$$ откуда $$y=x^2,\quad x\ge 0.$$

   Следовательно, обратная функция:

   $$y=x^2,\quad x\ge 0.$$

3. $$y=(x-1)^2,\quad x\le 1.$$

   Тогда $$x=(y-1)^2,\quad y\le 1.$$

   Так как при $$x\le 1$$ имеем левую ветвь параболы, то

   $$x=1-\sqrt{y}.$$

   Следовательно, обратная функция:

   $$y=1-\sqrt{x},\quad x\ge 0.$$

4. $$y=\sqrt{-x}.$$

   ОДЗ исходной функции: $$-x\ge 0,\quad x\le 0.$$

   Тогда $$x=\sqrt{-y},\quad y\ge 0,$$ откуда $$x^2=-y.$$

   Следовательно, обратная функция:

   $$y=-x^2,\quad x\ge 0.$$

Ответ: а) $$y=\sqrt{x}$$; б) $$y=x^2,\ x\ge 0$$; в) $$y=1-\sqrt{x}$$; г) $$y=-x^2,\ x\ge 0$$.