Упр.29.9 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

Найдём угол наклона касательной к оси $$x$$ по формуле $$\tan \alpha = f'(a).$$

а)

$$f(x)=\frac{2x-1}{3-2x}, \qquad a=\frac12.$$

Найдём производную:

$$f'(x)=\frac{(2x-1)'(3-2x)-(2x-1)(3-2x)’}{(3-2x)^2} =\frac{2(3-2x)-(2x-1)(-2)}{(3-2x)^2} =\frac{4}{(3-2x)^2}.$$

Тогда

$$f’\!\left(\frac12\right)=\frac{4}{\left(3-2\cdot \frac12\right)^2} =\frac{4}{(3-1)^2} =\frac{4}{4}=1.$$

Значит,

$$\tan \alpha = 1,$$

откуда

$$\alpha = 45^\circ.$$

б)

$$f(x)=\frac{x-1}{x-2}, \qquad a=1.$$

Найдём производную:

$$f'(x)=\frac{(x-1)'(x-2)-(x-1)(x-2)’}{(x-2)^2} =\frac{(x-2)-(x-1)}{(x-2)^2} =-\frac{1}{(x-2)^2}.$$

Тогда

$$f'(1)=-\frac{1}{(1-2)^2}=-1.$$

Следовательно,

$$\tan \alpha = -1,$$

а значит угол наклона касательной к положительному направлению оси $$x$$ равен

$$\alpha = 135^\circ.$$

Ответ

а) $$45^\circ$$; б) $$135^\circ$$.