Упр.29.7 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)
Определите, какой угол образует с осью $$x$$ касательная, проведённая к графику функции $$y=f(x)$$ в точке с абсциссой $$x=a$$, если:
а) $$f(x)=x^2$$, $$a=0{,}5$$;
б) $$f(x)=-3x^3$$, $$a=\frac{1}{3}$$;
в) $$f(x)=0{,}2x^5$$, $$a=-1$$;
г) $$f(x)=-0{,}25x^4$$, $$a=0$$.
Найдём угловой коэффициент касательной: $$k=f'(a),$$ а затем используем формулу $$\tan \alpha = k.$$
$$f(x)=x^2,\quad a=0{,}5.$$
$$f'(x)=2x,$$
$$k=f'(0{,}5)=2\cdot 0{,}5=1.$$
Тогда $$\tan \alpha =1,$$ значит $$\alpha=45^\circ.$$
$$f(x)=-3x^3,\quad a=\frac13.$$
$$f'(x)=-9x^2,$$
$$k=f’\!\left(\frac13\right)=-9\left(\frac13\right)^2=-1.$$
Тогда $$\tan \alpha =-1,$$ значит $$\alpha=135^\circ.$$
$$f(x)=0{,}2x^5,\quad a=-1.$$
$$f'(x)=0{,}2\cdot 5x^4=x^4,$$
$$k=f'(-1)=(-1)^4=1.$$
Тогда $$\tan \alpha =1,$$ значит $$\alpha=45^\circ.$$
$$f(x)=-0{,}25x^4,\quad a=0.$$
$$f'(x)=-0{,}25\cdot 4x^3=-x^3,$$
$$k=f'(0)=-(0)^3=0.$$
Тогда $$\tan \alpha =0,$$ значит $$\alpha=0^\circ.$$
Ответ: а) $$45^\circ$$; б) $$135^\circ$$; в) $$45^\circ$$; г) $$0^\circ$$.
