Упр.29.38 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

а) Для функции $$f(x)=x^3-px$$ найдём значение функции и производной в точке $$x=1$$:

$$f(1)=1-p,$$

$$f'(x)=3x^2-p,\qquad f'(1)=3-p.$$

Уравнение касательной в точке $$x=1$$:

$$y=f(1)+f'(1)(x-1)=(1-p)+(3-p)(x-1).$$

Упростим:

$$y=1-p+3x-3-px+p=3x-2-px.$$

Так как касательная проходит через точку $$\left(2;3\right),$$ подставим её координаты:

$$3=3\cdot 2-2-p\cdot 2,$$

$$3=4-2p,$$

$$2p=1,$$

$$p=\frac12.$$

б) Для функции $$f(x)=x^3+px^2$$ найдём значение функции и производной в точке $$x=1$$:

$$f(1)=1+p,$$

$$f'(x)=3x^2+2px,\qquad f'(1)=3+2p.$$

Уравнение касательной в точке $$x=1$$:

$$y=f(1)+f'(1)(x-1)=(1+p)+(3+2p)(x-1).$$

Упростим:

$$y=1+p+3x-3+2px-2p=2px+3x-p-2.$$

Так как касательная проходит через точку $$\left(3;2\right),$$ подставим её координаты:

$$2=2p\cdot 3+3\cdot 3-p-2,$$

$$2=6p+7-p-2,$$

$$2=5p+5,$$

$$5p=-3,$$

$$p=-\frac35.$$

Ответ

а) $$\frac12$$; б) $$-\frac35$$.