Упр.29.36 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. а) На оси $$y$$ взята точка В, из неё проведены касательные к графику функции $$y=\frac{\sqrt{3}}{2}x^2+\frac{\sqrt{3}}{2}$$. Известно, что эти касательные образуют между собой угол $$60^\circ$$. Найдите координаты точки В.
   б) Составьте уравнения тех касательных к графику функции $$y=\frac{\sqrt{3}}{6}(1-x^2)$$, которые пересекаются под углом $$120^\circ$$ в точке, лежащей на оси $$y$$.

Пусть $$x=a$$ — абсцисса точки касания. Тогда уравнение касательной к графику $$y=f(x)$$ в точке $$x=a$$ имеет вид

$$y=f(a)+f'(a)(x-a).$$

а)

$$f(x)=\frac{\sqrt{3}}{2}x^2+\frac{\sqrt{3}}{2}.$$

Тогда

$$f'(x)=\sqrt{3}x,\qquad k=f'(a)=\sqrt{3}a.$$

Уравнение касательной:

$$y=\frac{\sqrt{3}}{2}a^2+\frac{\sqrt{3}}{2}+\sqrt{3}a(x-a)=\sqrt{3}ax+\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}a^2.$$

Значит, угловой коэффициент касательной равен $$k=\sqrt{3}a$$.

Пусть касательные соответствуют точкам касания с абсциссами $$a_1$$ и $$a_2$$. Так как они пересекаются в точке на оси $$y$$, их ординаты при $$x=0$$ равны:

$$\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}a_1^2=\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}a_2^2,$$

откуда

$$a_1^2=a_2^2,\qquad a_1=\pm a_2.$$

Угол между прямыми равен $$60^\circ$$, поэтому

$$\tan 60^\circ=\left|\frac{k_1-k_2}{1+k_1k_2}\right|=\sqrt{3}.$$

Подставим $$k_1=\sqrt{3}a_1,\; k_2=\sqrt{3}a_2$$:

$$\left|\frac{\sqrt{3}(a_1-a_2)}{1+3a_1a_2}\right|=\sqrt{3}.$$

С учетом $$a_1=\pm a_2$$ получаем два случая:

1) $$a_1=a_2$$ — тогда касательные совпадают, это не подходит;

2) $$a_1=-a_2.$$

Пусть $$a_2=t,\; a_1=-t$$. Тогда

$$\left|\frac{\sqrt{3}(-2t)}{1-3t^2}\right|=\sqrt{3},$$

$$\frac{2|t|}{|1-3t^2|}=1.$$

Отсюда

$$2|t|=|1-3t^2|.$$

Решая, получаем $$t=\frac13$$ или $$t=1$$. Тогда точки пересечения касательных с осью $$y$$:

при $$a=\frac13$$

$$y(0)=\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot\frac{1}{9}=\frac{4\sqrt{3}}{9},$$

при $$a=1$$

$$y(0)=\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}=0.$$

Следовательно,

$$B_1\left(0;\frac{4\sqrt{3}}{9}\right),\quad B_2(0;0).$$

б)

$$f(x)=\frac{\sqrt{3}}{6}(1-x^2).$$

Тогда

$$f'(x)=-\frac{\sqrt{3}}{3}x,\qquad k=f'(a)=-\frac{\sqrt{3}}{3}a.$$

Уравнение касательной:

$$y=\frac{\sqrt{3}}{6}(1-a^2)-\frac{\sqrt{3}}{3}a(x-a)=\frac{\sqrt{3}}{6}(1+a^2)-\frac{\sqrt{3}}{3}ax.$$

Значит, угловой коэффициент касательной равен

$$k=-\frac{\sqrt{3}}{3}a.$$

Пусть касательные пересекаются в точке на оси $$y$$ и образуют угол $$120^\circ$$. Тогда для их угловых коэффициентов $$k_1$$ и $$k_2$$:

$$\tan 120^\circ=\left|\frac{k_1-k_2}{1+k_1k_2}\right|=\sqrt{3}.$$

Так как точка пересечения лежит на оси $$y$$, то

$$\frac{\sqrt{3}}{6}(1+a_1^2)=\frac{\sqrt{3}}{6}(1+a_2^2),$$

откуда

$$a_1^2=a_2^2,\qquad a_1=\pm a_2.$$

Берём $$a_1=-a_2$$. Тогда

$$k_1=\frac{\sqrt{3}}{3}a_2,\qquad k_2=-\frac{\sqrt{3}}{3}a_2,$$

и

$$\left|\frac{\frac{2\sqrt{3}}{3}a_2}{1-\frac{a_2^2}{3}}\right|=\sqrt{3}.$$

Отсюда

$$\frac{2|a_2|}{\left|1-\frac{a_2^2}{3}\right|}=3,$$

что даёт $$a_2=1$$ или $$a_2=3$$. Тогда соответствующие точки касания: $$a=\pm1$$ и $$a=\pm3$$.

Подставим в формулу касательной:

при $$a=\pm1$$

$$y=\frac{\sqrt{3}}{6}(1+1)-\frac{\sqrt{3}}{3}(\pm1)x=\frac{\sqrt{3}}{3}(1\mp x),$$

то есть

$$y=\frac{\sqrt{3}}{3}(1+x)\quad \text{и}\quad y=\frac{\sqrt{3}}{3}(1-x);$$

при $$a=\pm3$$

$$y=\frac{\sqrt{3}}{6}(1+9)-\frac{\sqrt{3}}{3}(\pm3)x=\frac{\sqrt{3}}{3}(5\mp 3x),$$

то есть

$$y=\frac{\sqrt{3}}{3}(5+3x)\quad \text{и}\quad y=\frac{\sqrt{3}}{3}(5-3x).$$

Ответ: а) $$B_1\left(0;\frac{4\sqrt{3}}{9}\right),\; B_2(0;0)$$; б) $$y=\frac{\sqrt{3}}{3}(1+x),\; y=\frac{\sqrt{3}}{3}(1-x),\; y=\frac{\sqrt{3}}{3}(5+3x),\; y=\frac{\sqrt{3}}{3}(5-3x).$$