Упр.29.35 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)
- а) На оси $$y$$ взята точка $$B$$, из неё проведены касательные к графику функции $$y=3-\frac{1}{2}x^2$$. Известно, что эти касательные образуют между собой угол $$90^\circ$$. Найдите координаты точки $$B$$.
б) Составьте уравнения тех касательных к графику функции $$y=0{,}5x^2-2{,}5$$, которые пересекаются под углом $$90^\circ$$ в точке, лежащей на оси $$y$$.
Пусть касательные проведены в точках с абсциссами $$x=a_1$$ и $$x=a_2$$.
а)
$$f(x)=3-\frac12x^2$$
Тогда
$$f'(x)=-x,$$
значит, угловые коэффициенты касательных равны $$k_1=-a_1$$ и $$k_2=-a_2.$$
Так как точка пересечения касательных лежит на оси $$y,$$ их ординаты при $$x=0$$ равны:
$$3+\frac12a_1^2=3+\frac12a_2^2,$$
откуда
$$a_1^2=a_2^2.$$
Касательные перпендикулярны, значит
$$1+k_1k_2=0.$$
Подставим $$k_1=-a_1,$$ $$k_2=-a_2$$:
$$1+a_1a_2=0.$$
Из равенства $$a_1^2=a_2^2$$ получаем $$a_1=\pm a_2.$$ Тогда из $$1+a_1a_2=0$$ следует $$a_2^2=1,$$ то есть $$a_2=\pm1.$$
Ордината точки пересечения касательных:
$$y(0)=3+\frac12\cdot 1^2=\frac72.$$
Следовательно,
$$B\left(0;\frac72\right).$$
б)
$$f(x)=\frac12x^2-2{,}5$$
Тогда
$$f'(x)=x,$$
и касательная в точке $$x=a$$ имеет вид
$$y=f(a)+f'(a)(x-a)=\frac12a^2-2{,}5+a(x-a)=ax-2{,}5-\frac12a^2.$$
Её угловой коэффициент равен $$k=a.$$
Пусть две касательные пересекаются на оси $$y.$$ Тогда их свободные члены равны:
$$-2{,}5-\frac12a_1^2=-2{,}5-\frac12a_2^2,$$
откуда
$$a_1^2=a_2^2.$$
Так как касательные перпендикулярны, то
$$1+k_1k_2=0,$$
то есть
$$1+a_1a_2=0.$$
Из $$a_1^2=a_2^2$$ получаем $$a_1=\pm a_2,$$ значит $$a_2^2=1,$$ и потому
$$a_1=-1,\quad a_2=1$$
или наоборот.
Тогда уравнения касательных:
$$y=-x-3,$$
$$y=x-3.$$
Ответ: а) $$B\left(0;\frac72\right)$$; б) $$y=-x-3$$ и $$y=x-3$$.
