Упр.29.34 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)
- а) Составьте уравнение касательной к графику функции $$y=x^3$$, $$x>0$$, отсекающей от осей координат треугольник, площадь которого равна $$\frac{2}{3}$$.
б) Составьте уравнение касательной к графику функции $$y=x^3$$, $$x<0$$, отсекающей от осей координат треугольник, площадь которого равна $$\frac{27}{8}$$.
Пусть точка касания имеет абсциссу $$x=a.$$ Тогда $$f(a)=a^3,\qquad f'(a)=3a^2.$$
а)
Для функции $$y=x^3,\quad x>0$$ уравнение касательной имеет вид
$$y=f(a)+f'(a)(x-a)=a^3+3a^2(x-a)=3a^2x-2a^3.$$
Найдём точки пересечения с осями координат:
при $$y=0$$
$$3a^2x-2a^3=0,\qquad x=\frac{2a}{3};$$
при $$x=0$$
$$y=-2a^3.$$
Площадь треугольника:
$$S=\frac12\left|\frac{2a}{3}\right|\cdot\left|-2a^3\right|=\frac{2a^4}{3}.$$
По условию $$S=\frac23$$, значит
$$\frac{2a^4}{3}=\frac23,\qquad a^4=1,\qquad a=1$$
(так как $$a>0$$).
Тогда
$$y=3\cdot 1^2x-2\cdot 1^3=3x-2.$$
б)
Для функции $$y=x^3,\quad x<0$$ касательная также имеет вид
$$y=3a^2x-2a^3.$$
Площадь отсекаемого треугольника равна
$$S=\frac12\left|\frac{2a}{3}\right|\cdot\left|-2a^3\right|=\frac{2a^4}{3}.$$
По условию $$S=\frac{27}{8}$$, значит
$$\frac{2a^4}{3}=\frac{27}{8},\qquad 16a^4=81,\qquad a^4=\frac{81}{16}.$$
Так как $$a<0$$, получаем
$$a=-\frac32.$$
Тогда
$$y=3\left(-\frac32\right)^2x-2\left(-\frac32\right)^3=\frac{27}{4}x+\frac{27}{4}.$$
Ответ
а) $$y=3x-2$$; б) $$y=\frac{27}{4}x+\frac{27}{4}.$$
