Упр.29.32 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

Задача

Составьте уравнения тех касательных к графику функции $$y=\frac{\sqrt{3}}{6}(1-x^2)$$, которые пересекаются под углом $$120^\circ$$ в точке, лежащей на оси $$y$$.

Подробный ответ

Пусть точка касания имеет абсциссу $$x=a.$$ Тогда

$$f(x)=\frac{\sqrt{3}}{6}(1-x^2), \qquad f'(x)=\frac{\sqrt{3}}{6}(-2x)=-\frac{\sqrt{3}}{3}x,$$
$$f(a)=\frac{\sqrt{3}}{6}(1-a^2), \qquad f'(a)=-\frac{\sqrt{3}}{3}a.$$

Уравнение касательной в точке $$x=a$$:

$$y=f(a)+f'(a)(x-a)$$
$$y=\frac{\sqrt{3}}{6}(1-a^2)-\frac{\sqrt{3}}{3}a(x-a).$$

Упростим:

$$y=\frac{\sqrt{3}}{6}(1-a^2)-\frac{\sqrt{3}}{3}ax+\frac{\sqrt{3}}{3}a^2 =\frac{\sqrt{3}}{6}(1+a^2)-\frac{\sqrt{3}}{3}ax.$$

Значит, угловой коэффициент касательной равен

$$k=-\frac{\sqrt{3}}{3}a.$$

Пусть касательные пересекаются в точке на оси $$y$$, то есть их абсцисса точки пересечения равна $$0$$. Тогда свободные члены у этих прямых одинаковы, а их угловые коэффициенты $$k_1$$ и $$k_2$$ удовлетворяют формуле угла между прямыми:

$$\tan 120^\circ=\frac{k_2-k_1}{1+k_1k_2}=-\sqrt{3}.$$

Так как касательные симметричны относительно оси $$y$$, их точки касания имеют абсциссы $$a$$ и $$-a$$, а значит, угловые коэффициенты равны $$-\frac{\sqrt{3}}{3}a$$ и $$\frac{\sqrt{3}}{3}a$$. Подставим:

$$\frac{\frac{\sqrt{3}}{3}a-\left(-\frac{\sqrt{3}}{3}a\right)}{1-\frac{1}{3}a^2}=-\sqrt{3}.$$

$$\frac{2\sqrt{3}a}{3-a^2}=-\sqrt{3}.$$

$$2a=-(3-a^2),$$
$$a^2-2a-3=0,$$
$$\left(a-3\right)\left(a+1\right)=0.$$

Получаем $$a=3$$ или $$a=-1$$. Эти значения дают две пары касательных:

при $$a=-1$$:
$$y=\frac{\sqrt{3}}{3}(x+1), \qquad y=-\frac{\sqrt{3}}{3}(x-1);$$

при $$a=3$$:
$$y=\frac{\sqrt{3}}{3}(5+3x), \qquad y=\frac{\sqrt{3}}{3}(5-3x).$$