Упр.29.30 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

Найдём точки касания и составим уравнения касательных по формуле

$$y=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0).$$

а)

$$f(x)=\sqrt{3-x}, \quad B(-2;3).$$

Пусть точка касания имеет абсциссу $$x_0.$$ Тогда

$$f(x_0)=\sqrt{3-x_0}, \qquad f'(x)=-\frac{1}{2\sqrt{3-x}}, \qquad f'(x_0)=-\frac{1}{2\sqrt{3-x_0}}.$$

Касательная проходит через точку $$B(-2;3),$$ значит

$$3=\sqrt{3-x_0}-\frac{1}{2\sqrt{3-x_0}}(-2-x_0).$$

Преобразуем:

$$3=\frac{2(3-x_0)+2+x_0}{2\sqrt{3-x_0}} =\frac{x_0+8}{2\sqrt{3-x_0}}.$$

Отсюда

$$x_0+8=6\sqrt{3-x_0}.$$

Возведём в квадрат:

$$(x_0+8)^2=36(3-x_0)$$

$$x_0^2+16x_0+64=108-36x_0$$

$$x_0^2+52x_0-44=0.$$

Решая уравнение, получаем

$$x_0=-26\pm 4\sqrt{45}.$$

Подходит только значение, при котором $$3-x_0\ge 0,$$ то есть

$$x_0=2.$$

Тогда

$$y_0=f(2)=\sqrt{3-2}=1,$$

$$k=f'(2)=-\frac{1}{2\sqrt{3-2}}=-\frac12.$$

Уравнение касательной:

$$y-1=-\frac12(x-2),$$

$$y=-\frac12x+2.$$

б)

$$f(x)=\sqrt{3-x}, \quad B(4;0).$$

Пусть точка касания имеет абсциссу $$x_0.$$ Тогда касательная проходит через точку $$B(4;0),$$ значит

$$0=\sqrt{3-x_0}-\frac{1}{2\sqrt{3-x_0}}(4-x_0).$$

Умножим на $$2\sqrt{3-x_0}:$$

$$4-x_0=2(3-x_0).$$

Отсюда

$$4-x_0=6-2x_0,$$

$$x_0=2.$$

Тогда

$$y_0=f(2)=1,\qquad k=f'(2)=-\frac12.$$

Уравнение касательной:

$$y-1=-\frac12(x-2),$$

$$y=-\frac12x+2.$$

Ответ

а) $$y=-\frac12x+2$$; б) $$y=-\frac12x+2$$.