Упр.29.3 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

Задача

Тупой или острый угол образует с положительным направлением оси $$x$$ касательная к графику функции $$y=f(x)$$, проведённая в точке с абсциссой $$x=a$$, если:

а) $$f(x)=4+x^2$$, $$a=2$$;

б) $$f(x)=1-\frac{1}{x}$$, $$a=3$$;

в) $$f(x)=(1-x)^3$$, $$a=-3$$;

г) $$f(x)=2x-x^3$$, $$a=1$$?

Подробный ответ

Найдём знак производной в точке касания: если $$f'(a)>0,$$ то касательная образует с положительным направлением оси $$x$$ острый угол, если $$f'(a)<0,$$ — тупой.

$$f(x)=4+x^2,\quad a=2$$
$$f'(x)=(4+x^2)’=2x$$
$$f'(2)=2\cdot 2=4>0$$
Касательная образует острый угол.
$$f(x)=1-\frac{1}{x},\quad a=3$$
$$f'(x)=\left(1-\frac{1}{x}\right)’=\frac{1}{x^2}$$
$$f'(3)=\frac{1}{3^2}=\frac{1}{9}>0$$
Касательная образует острый угол.
$$f(x)=(1-x)^3,\quad a=-3$$
$$f'(x)=\bigl((1-x)^3\bigr)’=3(1-x)^2\cdot(-1)=-3(1-x)^2$$
$$f'(-3)=-3(1-(-3))^2=-3\cdot 4^2=-48<0$$
Касательная образует тупой угол.
$$f(x)=2x-x^3,\quad a=1$$
$$f'(x)=(2x-x^3)’=2-3x^2$$
$$f'(1)=2-3\cdot 1^2=-1<0$$
Касательная образует тупой угол.