Упр.29.28 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)
- Проведите касательную к графику функции $$y=x^2+1$$, проходящую через точку $$A$$, не принадлежащую этому графику, если: а) $$A(-1; 2)$$; б) $$A(0; 0)$$; в) $$A(0; -3)$$; г) $$A(-1; 1)$$.
Пусть точка касания имеет абсциссу $$x=a.$$ Тогда
$$f(a)=a^2+1,\qquad f'(x)=2x,\qquad f'(a)=2a.$$
Уравнение касательной к графику $$y=x^2+1$$ в точке $$x=a$$ имеет вид
$$y=f(a)+f'(a)(x-a)=(a^2+1)+2a(x-a)=2ax+1-a^2.$$
$$A(-1;2).$$
Подставим координаты точки в уравнение касательной:
$$2=2a\cdot(-1)+1-a^2,$$
$$a^2+2a-1=0.$$
$$D=2^2-4\cdot1\cdot(-1)=8,$$
$$a_{1,2}=-1\pm\sqrt2.$$
Тогда касательные:
$$y=2(-1+\sqrt2)x+1-(-1+\sqrt2)^2,$$
$$y=2(-1-\sqrt2)x+1-(-1-\sqrt2)^2.$$
$$A(0;0).$$
$$0=1-a^2,$$
$$a=\pm1.$$
При $$a=-1$$:
$$y=-2x.$$
При $$a=1$$:
$$y=2x.$$
$$A(0;-3).$$
$$-3=1-a^2,$$
$$a^2=4,\qquad a=\pm2.$$
При $$a=-2$$:
$$y=-4x-3.$$
При $$a=2$$:
$$y=4x-3.$$
$$A(-1;1).$$
$$1=-2a+1-a^2,$$
$$a^2+2a=0,$$
$$a(a+2)=0,$$
$$a=0 \text{ или } a=-2.$$
При $$a=0$$:
$$y=1.$$
При $$a=-2$$:
$$y=-4x-3.$$
Ответ: а) $$y=2(-1+\sqrt2)x+1-(-1+\sqrt2)^2$$ и $$y=2(-1-\sqrt2)x+1-(-1-\sqrt2)^2$$; б) $$y=-2x,\ y=2x$$; в) $$y=-4x-3,\ y=4x-3$$; г) $$y=1,\ y=-4x-3$$.
