Упр.29.26 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. Составьте уравнение параболы $$y=x^2+bx+c$$, касающейся прямой $$y=x-1$$ в точке $$(2;1)$$.

Пусть искомая парабола имеет вид $$y=x^2+bx+c.$$

Так как она касается прямой $$y=x-1$$ в точке $$\left(2;1\right),$$ то:

1) точка $$\left(2;1\right)$$ принадлежит параболе, значит

$$1=2^2+2b+c,$$

то есть

$$4+2b+c=1.$$

2) угловые коэффициенты касательной и параболы в точке касания равны. Производная функции

$$y’=2x+b.$$

Для точки $$x=2$$ получаем

$$y'(2)=4+b.$$

Так как прямая $$y=x-1$$ имеет угловой коэффициент $$1,$$ то

$$4+b=1,$$

откуда

$$b=-3.$$

Подставим это значение в уравнение точки:

$$1=2^2+2\cdot(-3)+c,$$

$$1=4-6+c,$$

$$c=3.$$

Следовательно, искомая парабола:

$$y=x^2-3x+3.$$

Ответ

$$y=x^2-3x+3.$$