Упр.29.25 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

а) Вычислите координаты точек пересечения с осью $$y$$ тех касательных к графику функции $$y=\frac{3x-1}{x+8}$$, которые образуют угол $$45^\circ$$ с осью $$x$$.
б) Вычислите координаты точек пересечения с осью $$y$$ тех касательных к графику функции $$y=\frac{x+4}{x-5}$$, которые образуют угол $$135^\circ$$ с осью $$x$$.

а) Для касательной угол с осью $$x$$ равен $$45^\circ$$, значит её угловой коэффициент

$$k=\tan 45^\circ=1.$$

Найдём производную функции

$$f(x)=\frac{3x-1}{x+8}.$$

$$f'(x)=\frac{(3x-1)'(x+8)-(3x-1)(x+8)’}{(x+8)^2} =\frac{3(x+8)-(3x-1)}{(x+8)^2} =\frac{25}{(x+8)^2}.$$

Так как касательная образует угол $$45^\circ$$ с осью $$x$$, то

$$\frac{25}{(x+8)^2}=1.$$

Отсюда

$$(x+8)^2=25,\qquad x+8=\pm 5,$$

$$x_1=-13,\qquad x_2=-3.$$

Найдём соответствующие значения функции:

$$f(-13)=\frac{3\cdot(-13)-1}{-13+8}=\frac{-40}{-5}=8,$$

$$f(-3)=\frac{3\cdot(-3)-1}{-3+8}=\frac{-10}{5}=-2.$$

Уравнение касательной имеет вид $$y=f(a)+f'(a)(x-a)$$. Так как $$f'(a)=1$$, получаем:

$$y=8+1\cdot(x-(-13))=x+21,$$

$$y=-2+1\cdot(x-(-3))=x+1.$$

Точки пересечения с осью $$y$$ найдём при $$x=0$$:

$$y_1(0)=21,\qquad y_2(0)=1.$$

Значит, искомые точки: $$\left(0;21\right)$$ и $$\left(0;1\right)$$.

б) Для угла $$135^\circ$$

$$k=\tan 135^\circ=-1.$$

Пусть

$$f(x)=\frac{x+4}{x-5}.$$

Тогда

$$f'(x)=\frac{(x+4)'(x-5)-(x+4)(x-5)’}{(x-5)^2} =\frac{(x-5)-(x+4)}{(x-5)^2} =-\frac{9}{(x-5)^2}.$$

Приравниваем к $$-1$$:

$$-\frac{9}{(x-5)^2}=-1.$$

Отсюда

$$(x-5)^2=9,\qquad x-5=\pm 3,$$

$$x_1=2,\qquad x_2=8.$$

Найдём значения функции:

$$f(2)=\frac{2+4}{2-5}=\frac{6}{-3}=-2,$$

$$f(8)=\frac{8+4}{8-5}=\frac{12}{3}=4.$$

Уравнения касательных:

$$y=-2-1\cdot(x-2)=-x,$$

$$y=4-1\cdot(x-8)=12-x.$$

Точки пересечения с осью $$y$$ при $$x=0$$:

$$y_1(0)=0,\qquad y_2(0)=12.$$

Следовательно, искомые точки: $$\left(0;0\right)$$ и $$\left(0;12\right)$$.

Ответ

а) $$\left(0;21\right),\ \left(0;1\right)$$; б) $$\left(0;0\right),\ \left(0;12\right)$$.