Упр.29.24 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

Составьте уравнение той касательной к графику функции $$y=f(x)$$, которая образует с осью $$x$$ заданный угол $$\alpha$$, если:

1. а) $$f(x)=\frac{1}{\sqrt{3}}x^3-3\sqrt{3}x$$, $$\alpha=60$$;
2. б) $$f(x)=\frac{4}{\sqrt{3}}x-\frac{\sqrt{3}}{3}x^3$$, $$\alpha=30$$.

Найдём производную функции и приравняем её к угловому коэффициенту касательной, то есть к $$\tg \alpha.$$

а)

$$f(x)=\frac{1}{\sqrt{3}}x^3-3\sqrt{3}x,\qquad \alpha=60^\circ.$$

Тогда

$$f'(x)=\frac{1}{\sqrt{3}}\cdot 3x^2-3\sqrt{3}=\sqrt{3}x^2-3\sqrt{3}.$$

Так как $$\tg 60^\circ=\sqrt{3},$$ получаем:

$$\sqrt{3}x^2-3\sqrt{3}=\sqrt{3}.$$

$$x^2-3=1,\qquad x^2=4,\qquad x=\pm 2.$$

Найдём значения функции в этих точках:

$$f(-2)=\frac{1}{\sqrt{3}}(-2)^3-3\sqrt{3}(-2)=\frac{10\sqrt{3}}{3},$$

$$f(2)=\frac{1}{\sqrt{3}}2^3-3\sqrt{3}\cdot 2=-\frac{10\sqrt{3}}{3}.$$

Уравнения касательных:

$$y=f(a)+f'(a)(x-a).$$

При $$a=-2$$:

$$y=\frac{10\sqrt{3}}{3}+\sqrt{3}(x+2)=\sqrt{3}x+\frac{16\sqrt{3}}{3}.$$

При $$a=2$$:

$$y=-\frac{10\sqrt{3}}{3}+\sqrt{3}(x-2)=\sqrt{3}x-\frac{16\sqrt{3}}{3}.$$

б)

$$f(x)=\frac{4}{\sqrt{3}}x-\frac{\sqrt{3}}{3}x^3,\qquad \alpha=30^\circ.$$

Тогда

$$f'(x)=\frac{4}{\sqrt{3}}-\frac{\sqrt{3}}{3}\cdot 3x^2=\frac{4}{\sqrt{3}}-\sqrt{3}x^2.$$

Так как $$\tg 30^\circ=\frac{\sqrt{3}}{3},$$ получаем:

$$\frac{4}{\sqrt{3}}-\sqrt{3}x^2=\frac{\sqrt{3}}{3}.$$

$$4-3x^2=1,\qquad 3x^2=3,\qquad x^2=1,\qquad x=\pm 1.$$

Найдём значения функции:

$$f(-1)=\frac{4}{\sqrt{3}}(-1)-\frac{\sqrt{3}}{3}(-1)^3=-\sqrt{3},$$

$$f(1)=\frac{4}{\sqrt{3}}-\frac{\sqrt{3}}{3}=\sqrt{3}.$$

Уравнения касательных:

$$y=f(a)+f'(a)(x-a).$$

При $$a=-1$$:

$$y=-\sqrt{3}+\frac{\sqrt{3}}{3}(x+1)=\frac{\sqrt{3}}{3}x-\frac{2\sqrt{3}}{3}.$$

При $$a=1$$:

$$y=\sqrt{3}+\frac{\sqrt{3}}{3}(x-1)=\frac{\sqrt{3}}{3}x+\frac{2\sqrt{3}}{3}.$$

Ответ

а) $$y=\sqrt{3}x+\frac{16\sqrt{3}}{3},\quad y=\sqrt{3}x-\frac{16\sqrt{3}}{3}.$$

б) $$y=\frac{\sqrt{3}}{3}x-\frac{2\sqrt{3}}{3},\quad y=\frac{\sqrt{3}}{3}x+\frac{2\sqrt{3}}{3}.$$