Упр.29.23 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

Напишите уравнения тех касательных к графику функции $$y=\frac{x^3}{3}-2$$, которые параллельны заданной прямой:
а) $$y=x-3$$;
б) $$y=9x-5$$.

Для касательной к графику функции $$y=\frac{x^3}{3}-2$$ угловой коэффициент должен совпадать с угловым коэффициентом заданной прямой. Найдём производную:

$$f'(x)=\left(\frac{x^3}{3}-2\right)’=x^2.$$

а) Прямая $$y=x-3$$

Её угловой коэффициент равен $$k=1$$. Тогда для точки касания:

$$x^2=1 \Rightarrow x=\pm 1.$$

Найдём соответствующие значения функции:

$$f(1)=\frac{1}{3}-2=-\frac{5}{3}, \qquad f(-1)=-\frac{1}{3}-2=-\frac{7}{3}.$$

Составим уравнения касательных:

$$y+\frac{7}{3}=1(x+1) \Rightarrow y=x-\frac{4}{3},$$

$$y+\frac{5}{3}=1(x-1) \Rightarrow y=x-\frac{8}{3}.$$

б) Прямая $$y=9x-5$$

Её угловой коэффициент равен $$k=9$$. Тогда:

$$x^2=9 \Rightarrow x=\pm 3.$$

Найдём значения функции:

$$f(3)=\frac{27}{3}-2=7, \qquad f(-3)=\frac{-27}{3}-2=-11.$$

Составим уравнения касательных:

$$y-7=9(x-3) \Rightarrow y=9x-20,$$

$$y+11=9(x+3) \Rightarrow y=9x+16.$$

Ответ

а) $$y=x-\frac{4}{3}$$, $$y=x-\frac{8}{3}$$;

б) $$y=9x+16$$, $$y=9x-20$$.