Упр.29.22 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)
а) $$f(x)=\sin x,\quad y=-x$$; б) $$f(x)=\cos 3x,\quad y=0$$; в) $$f(x)=\operatorname{tg}x,\quad y=x$$; г) $$f(x)=\sin x/3,\quad y=-1$$.
Для параллельности касательной и заданной прямой их угловые коэффициенты должны быть равны, то есть $$f'(x)=k.$$
Ход решения
а) $$f(x)=\sin x,\quad y=-x.$$
Угловой коэффициент прямой: $$k=-1.$$
Производная функции: $$f'(x)=\cos x.$$
Ищем точки касания:
$$\cos x=-1$$
$$x=\pi+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
Точки касания:
$$y=\sin(\pi+2\pi n)=0.$$
Значит, касательная параллельна прямой в точках $$\left(\pi+2\pi n;\,0\right),\ n\in\mathbb Z.$$
б) $$f(x)=\cos 3x,\quad y=0.$$
Угловой коэффициент прямой: $$k=0.$$
Производная функции: $$f'(x)=-3\sin 3x.$$
Ищем точки касания:
$$-3\sin 3x=0$$
$$\sin 3x=0$$
$$3x=\pi n,\quad n\in\mathbb Z,$$
$$x=\frac{\pi n}{3},\quad n\in\mathbb Z.$$
Точки касания:
$$y=\cos\left(3\cdot \frac{\pi n}{3}\right)=\cos \pi n=(-1)^n.$$
Значит, касательная параллельна прямой в точках $$\left(\frac{\pi n}{3};\,(-1)^n\right),\ n\in\mathbb Z.$$
в) $$f(x)=\tg x,\quad y=x.$$
Угловой коэффициент прямой: $$k=1.$$
Производная функции: $$f'(x)=\frac{1}{\cos^2 x}.$$
Ищем точки касания:
$$\frac{1}{\cos^2 x}=1$$
$$\cos^2 x=1$$
$$\cos x=\pm 1$$
$$x=\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
Точки касания:
$$y=\tg(\pi n)=0.$$
Значит, касательная параллельна прямой в точках $$\left(\pi n;\,0\right),\ n\in\mathbb Z.$$
г) $$f(x)=\sin \frac{x}{3},\quad y=-1.$$
Угловой коэффициент прямой: $$k=0.$$
Производная функции: $$f'(x)=\frac{1}{3}\cos \frac{x}{3}.$$
Ищем точки касания:
$$\frac{1}{3}\cos \frac{x}{3}=0$$
$$\cos \frac{x}{3}=0$$
$$\frac{x}{3}=\frac{\pi}{2}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z,$$
$$x=\frac{3\pi}{2}+3\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
Точки касания:
$$y=\sin\left(\frac{1}{3}\left(\frac{3\pi}{2}+3\pi n\right)\right)=\sin\left(\frac{\pi}{2}+\pi n\right)=(-1)^n.$$
Значит, касательная параллельна прямой в точках $$\left(\frac{3\pi}{2}+3\pi n;\,(-1)^n\right),\ n\in\mathbb Z.$$
Ответ
а) $$\left(\pi+2\pi n;\,0\right),\ n\in\mathbb Z$$
б) $$\left(\frac{\pi n}{3};\,(-1)^n\right),\ n\in\mathbb Z$$
в) $$\left(\pi n;\,0\right),\ n\in\mathbb Z$$
г) $$\left(\frac{3\pi}{2}+3\pi n;\,(-1)^n\right),\ n\in\mathbb Z$$
