Упр.29.16 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

а) $$f(x)=\ctg 2x,\quad a=\frac{\pi}{4}$$

Найдём значение функции и производной в точке $$x=a$$:

$$f\!\left(\frac{\pi}{4}\right)=\ctg\!\left(2\cdot\frac{\pi}{4}\right)=\ctg\frac{\pi}{2}=0,$$

$$f'(x)=\left(\ctg 2x\right)’=-\frac{2}{\sin^2 2x},$$

$$f’\!\left(\frac{\pi}{4}\right)=-\frac{2}{\sin^2\!\left(2\cdot\frac{\pi}{4}\right)}=-\frac{2}{\sin^2\frac{\pi}{2}}=-2.$$

Уравнение касательной:

$$y=f(a)+f'(a)(x-a),$$

$$y=0-2\left(x-\frac{\pi}{4}\right)=-2x+\frac{\pi}{2}.$$

б) $$f(x)=2\tg\frac{x}{3},\quad a=0$$

Найдём значение функции и производной в точке $$x=0$$:

$$f(0)=2\tg 0=0,$$

$$f'(x)=\left(2\tg\frac{x}{3}\right)’=2\cdot\frac{1}{\cos^2\frac{x}{3}}\cdot\frac13=\frac{2}{3\cos^2\frac{x}{3}},$$

$$f'(0)=\frac{2}{3\cos^2 0}=\frac{2}{3}.$$

Тогда уравнение касательной:

$$y=f(0)+f'(0)(x-0)=\frac{2}{3}x.$$

Ответ: а) $$y=-2x+\frac{\pi}{2}$$; б) $$y=\frac{2}{3}x$$.