Упр.29.13 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

а) $$f(x)=\frac{3x-2}{3-x}$$, $$a=2$$; б) $$f(x)=\frac{2x-5}{5-x}$$, $$a=4$$.

Найдём уравнение касательной по формуле

$$y=f(a)+f'(a)(x-a).$$

а)

$$f(x)=\frac{3x-2}{3-x}, \quad a=2.$$

Вычислим значение функции:

$$f(2)=\frac{3\cdot 2-2}{3-2}=\frac{4}{1}=4.$$

Найдём производную:

$$f'(x)=\frac{(3x-2)'(3-x)-(3x-2)(3-x)’}{(3-x)^2} =\frac{3(3-x)-(3x-2)(-1)}{(3-x)^2} =\frac{7}{(3-x)^2}.$$

Тогда

$$f'(2)=\frac{7}{(3-2)^2}=7.$$

Уравнение касательной:

$$y=4+7(x-2)=4+7x-14=7x-10.$$

б)

$$f(x)=\frac{2x-5}{5-x}, \quad a=4.$$

Вычислим значение функции:

$$f(4)=\frac{2\cdot 4-5}{5-4}=\frac{3}{1}=3.$$

Найдём производную:

$$f'(x)=\frac{(2x-5)'(5-x)-(2x-5)(5-x)’}{(5-x)^2} =\frac{2(5-x)-(2x-5)(-1)}{(5-x)^2} =\frac{5}{(5-x)^2}.$$

Тогда

$$f'(4)=\frac{5}{(5-4)^2}=5.$$

Уравнение касательной:

$$y=3+5(x-4)=3+5x-20=5x-17.$$

Ответ: а) $$y=7x-10$$; б) $$y=5x-17$$.