Упр.29.11 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

Найдём угловой коэффициент касательной: $$k=f'(a).$$ Тогда угол наклона касательной к оси $$x$$ удовлетворяет равенству $$\tan \alpha = k,$$ где $$0^\circ<\alpha<180^\circ.$$

а)

$$f(x)=\sqrt{3}\cos \frac{x}{3}, \qquad a=\frac{3\pi}{2}.$$

Найдём производную:

$$f'(x)=\sqrt{3}\left(-\sin \frac{x}{3}\right)\cdot \frac13=-\frac{\sqrt{3}}{3}\sin \frac{x}{3}.$$

Тогда

$$k=f’\!\left(\frac{3\pi}{2}\right)=-\frac{\sqrt{3}}{3}\sin \frac{3\pi}{2}\cdot \frac13=-\frac{\sqrt{3}}{3}\sin \frac{\pi}{2}=-\frac{\sqrt{3}}{3}.$$

Следовательно,

$$\tan \alpha=-\frac{\sqrt{3}}{3}.$$

Так как $$\tan 150^\circ=-\frac{\sqrt{3}}{3},$$ то

$$\alpha=150^\circ.$$

б)

$$f(x)=\frac12 \sin 2x, \qquad a=\frac{\pi}{2}.$$

Найдём производную:

$$f'(x)=\frac12 \cdot 2\cos 2x=\cos 2x.$$

Тогда

$$k=f’\!\left(\frac{\pi}{2}\right)=\cos \pi=-1.$$

Следовательно,

$$\tan \alpha=-1.$$

Так как $$\tan 135^\circ=-1,$$ то

$$\alpha=135^\circ.$$

Ответ: а) $$150^\circ$$; б) $$135^\circ$$.