Упр.28.52 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

а) При каких значениях параметра $$a$$ касательные к графику функции $$y=4x^2-|a|x$$, проведённые в точках его пересечения с осью $$x$$, образуют между собой угол $$60^\circ$$?

б) При каких значениях параметра $$a$$ касательные к графику функции $$y=x^2+|a|x$$, проведённые в точках его пересечения с осью $$x$$, образуют между собой угол $$45^\circ$$?

а) Найдём точки пересечения графика с осью $$x$$:

$$4x^2-|a|x=0$$

$$x(4x-|a|)=0$$

Отсюда

$$x_1=0,\qquad x_2=\frac{|a|}{4}.$$

Производная функции:

$$y’=8x-|a|.$$

Угловые коэффициенты касательных в этих точках:

$$k_1=y'(0)=-|a|,$$

$$k_2=y’\!\left(\frac{|a|}{4}\right)=8\cdot\frac{|a|}{4}-|a|=|a|.$$

По формуле угла между прямыми:

$$\tan 60^\circ=\left|\frac{k_2-k_1}{1+k_1k_2}\right|.$$

Тогда

$$\left|\frac{|a|-(-|a|)}{1+(-|a|)\cdot |a|}\right|=\sqrt{3},$$

$$\left|\frac{2|a|}{1-a^2}\right|=\sqrt{3}.$$

Возводим в квадрат:

$$\frac{4a^2}{(1-a^2)^2}=3,$$

$$4a^2=3(1-2a^2+a^4),$$

$$3a^4-10a^2+3=0.$$

Обозначим $$t=a^2$$. Тогда

$$3t^2-10t+3=0,$$

$$D=100-36=64,$$

$$t=\frac{10\pm 8}{6}.$$

Получаем

$$t_1=3,\qquad t_2=\frac13.$$

Значит,

$$a^2=3 \quad \text{или} \quad a^2=\frac13,$$

откуда

$$a=\pm\sqrt{3},\qquad a=\pm\frac{1}{\sqrt{3}}.$$

б) Найдём точки пересечения графика с осью $$x$$:

$$x^2+|a|x=0$$

$$x(x+|a|)=0$$

Отсюда

$$x_1=0,\qquad x_2=-|a|.$$

Производная функции:

$$y’=2x+|a|.$$

Угловые коэффициенты касательных:

$$k_1=y'(0)=|a|,$$

$$k_2=y'(-|a|)=2(-|a|)+|a|=-|a|.$$

По формуле угла между прямыми:

$$\tan 45^\circ=\left|\frac{k_2-k_1}{1+k_1k_2}\right|.$$

Тогда

$$\left|\frac{-|a|-|a|}{1+|a|\cdot(-|a|)}\right|=1,$$

$$\left|\frac{-2|a|}{1-a^2}\right|=1.$$

Возводим в квадрат:

$$\frac{4a^2}{(1-a^2)^2}=1,$$

$$4a^2=(1-a^2)^2,$$

$$a^4-6a^2+1=0.$$

Обозначим $$t=a^2$$. Тогда

$$t^2-6t+1=0,$$

$$D=36-4=32,$$

$$t=\frac{6\pm\sqrt{32}}{2}=3\pm 2\sqrt{2}.$$

Следовательно,

$$a^2=3+2\sqrt{2}=(1+\sqrt{2})^2,$$

$$a^2=3-2\sqrt{2}=(\sqrt{2}-1)^2.$$

Значит,

$$a=\pm(1+\sqrt{2}),\qquad a=\pm(\sqrt{2}-1).$$

Ответ

а) $$a=\pm\sqrt{3},\ \pm\frac{1}{\sqrt{3}}.$$

б) $$a=\pm(1+\sqrt{2}),\ \pm(\sqrt{2}-1).$$