Упр.28.45 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. Определите абсциссы точек, в которых касательные к графику функции $$y=h(x)$$ образуют с положительным направлением оси абсцисс заданный угол $$\alpha$$:
   а) $$h(x)=x^2-3x+19,\ \alpha=45$$;
   б) $$h(x)=\frac{4}{x+2},\ \alpha=135$$;
   в) $$h(x)=2\sqrt{2x-4},\ \alpha=60$$;
   г) $$h(x)=\sin\left(4x-\frac{\pi}{3}\right),\ \alpha=0$$.

Найдём производную функции и приравняем её к $$\tan \alpha$$, так как угловой коэффициент касательной равен $$\tan \alpha$$.

а)

$$h(x)=x^2-3x+19,\quad \alpha=45^\circ$$

$$h'(x)=2x-3$$

$$\tan 45^\circ=1$$

Тогда

$$2x-3=1$$

$$2x=4$$

$$x=2$$

б)

$$h(x)=\frac{4}{x+2},\quad \alpha=135^\circ$$

$$h'(x)=-\frac{4}{(x+2)^2}$$

$$\tan 135^\circ=-1$$

Тогда

$$-\frac{4}{(x+2)^2}=-1$$

$$\frac{4}{(x+2)^2}=1$$

$$(x+2)^2=4$$

$$x+2=\pm 2$$

$$x=-4,\;0$$

в)

$$h(x)=2\sqrt{2x-4},\quad \alpha=60^\circ$$

$$h'(x)=2\cdot \frac{1}{\sqrt{2x-4}}=\frac{2}{\sqrt{2x-4}}$$

$$\tan 60^\circ=\sqrt{3}$$

Тогда

$$\frac{2}{\sqrt{2x-4}}=\sqrt{3}$$

$$2=\sqrt{3}\,\sqrt{2x-4}$$

$$4=3(2x-4)$$

$$4=6x-12$$

$$6x=16$$

$$x=\frac{8}{3}$$

г)

$$h(x)=\sin\left(4x-\frac{\pi}{3}\right),\quad \alpha=0^\circ$$

$$h'(x)=4\cos\left(4x-\frac{\pi}{3}\right)$$

$$\tan 0^\circ=0$$

Тогда

$$4\cos\left(4x-\frac{\pi}{3}\right)=0$$

$$\cos\left(4x-\frac{\pi}{3}\right)=0$$

$$4x-\frac{\pi}{3}=\frac{\pi}{2}+\pi n,\quad n\in \mathbb{Z}$$

$$4x=\frac{5\pi}{6}+\pi n$$

$$x=\frac{5\pi}{24}+\frac{\pi n}{4},\quad n\in \mathbb{Z}$$

Ответ: а) $$2$$; б) $$-4,\;0$$; в) $$\frac{8}{3}$$; г) $$x=\frac{5\pi}{24}+\frac{\pi n}{4},\ n\in \mathbb{Z}$$.