Упр.28.44 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. Найдите значения аргумента, удовлетворяющие условию $$f'(x)=g'(x)$$, если:
   а) $$f(x)=\sin(2x-3)$$, $$g(x)=\cos(2x-3)$$;
   б) $$f(x)=\frac{6}{5x-9}$$, $$g(x)=\frac{3}{7-5x}$$;
   в) $$f(x)=\sqrt{3x-10}$$, $$g(x)=\sqrt{14+6x}$$;
   г) $$f(x)=\operatorname{ctg}x$$, $$g(x)=2x+15$$.

Найдём производные и приравняем их.

а)

$$f(x)=\sin(2x-3), \qquad g(x)=\cos(2x-3)$$
$$f'(x)=2\cos(2x-3), \qquad g'(x)=-2\sin(2x-3)$$
$$2\cos(2x-3)=-2\sin(2x-3)$$
$$\cos(2x-3)=-\sin(2x-3)$$
$$\tg(2x-3)=-1$$
$$2x-3=-\frac{\pi}{4}+\pi n,\qquad n\in\mathbb Z$$
$$x=\frac{3}{2}-\frac{\pi}{8}+\frac{\pi n}{2}=\frac{12-\pi}{8}+\frac{\pi n}{2}$$

Ответ: $$x=\frac{12-\pi}{8}+\frac{\pi n}{2},\ n\in\mathbb Z.$$

б)

$$f(x)=\frac{6}{5x-9}, \qquad g(x)=\frac{3}{7-5x}$$
$$f'(x)=-\frac{30}{(5x-9)^2}, \qquad g'(x)=\frac{15}{(7-5x)^2}$$
$$-\frac{30}{(5x-9)^2}=\frac{15}{(7-5x)^2}$$
Левая часть отрицательна, правая положительна, поэтому равенство невозможно.

Ответ: $$x\in\varnothing.$$

в)

$$f(x)=\sqrt{3x-10}, \qquad g(x)=\sqrt{14+6x}$$
$$f'(x)=\frac{3}{2\sqrt{3x-10}}, \qquad g'(x)=\frac{3}{\sqrt{14+6x}}$$
$$\frac{3}{2\sqrt{3x-10}}=\frac{3}{\sqrt{14+6x}}$$
$$\sqrt{14+6x}=2\sqrt{3x-10}$$
$$14+6x=4(3x-10)$$
$$14+6x=12x-40$$
$$6x=54$$
$$x=9$$

Ответ: $$9.$$

г)

$$f(x)=\ctg x, \qquad g(x)=2x+15$$
$$f'(x)=-\frac{1}{\sin^2 x}, \qquad g'(x)=2$$
$$-\frac{1}{\sin^2 x}=2$$
Это невозможно, так как $$\sin^2 x\ge 0$$, а левая часть всегда отрицательна, правая — положительна.

Ответ: $$x\in\varnothing.$$