Упр.28.43 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

При каких значениях аргумента скорость изменения функции $$y=g(x)$$ больше скорости изменения функции $$y=h(x)$$:

а) $$g(x)=x^3-3x^2,\quad h(x)=1{,}5x^2-9$$;

б) $$g(x)=\sin\left(3x-\frac{\pi}{6}\right),\quad h(x)=6x-12$$;

в) $$g(x)=\operatorname{tg}x,\quad h(x)=4x-81$$;

г) $$g(x)=\cos\left(\frac{\pi}{4}-2x\right),\quad h(x)=3-\sqrt{2}x$$.

а) Найдём производные функций:

$$g(x)=x^3-3x^2,\qquad h(x)=1{,}5x^2-9$$

$$g'(x)=3x^2-6x,\qquad h'(x)=3x$$

Составим неравенство:

$$g'(x)>h'(x)$$

$$3x^2-6x>3x$$

$$3x^2-9x>0$$

$$3x(x-3)>0$$

Отсюда

$$x\in(-\infty;0)\cup(3;+\infty).$$

б) Найдём производные функций:

$$g(x)=\sin\left(3x-\frac{\pi}{6}\right),\qquad h(x)=6x-12$$

$$g'(x)=3\cos\left(3x-\frac{\pi}{6}\right),\qquad h'(x)=6$$

Составим неравенство:

$$3\cos\left(3x-\frac{\pi}{6}\right)>6$$

$$\cos\left(3x-\frac{\pi}{6}\right)>2$$

Так как $$-1\le \cos t\le 1,$$ неравенство решений не имеет.

Следовательно,

$$x\in\varnothing.$$

в) Найдём производные функций:

$$g(x)=\tg x,\qquad h(x)=4x-81$$

$$g'(x)=\frac{1}{\cos^2 x},\qquad h'(x)=4$$

Составим неравенство:

$$\frac{1}{\cos^2 x}>4$$

$$1>4\cos^2 x$$

$$\cos^2 x<\frac14$$

$$-\frac12<\cos x<\frac12$$

С учётом области определения функции $$\tg x$$ получаем:

$$x\in\left(\frac{\pi}{3}+\pi k;\frac{\pi}{2}+\pi k\right)\cup\left(\frac{\pi}{2}+\pi k;\frac{2\pi}{3}+\pi k\right),\ k\in\mathbb Z.$$

г) Найдём производные функций:

$$g(x)=\cos\left(\frac{\pi}{4}-2x\right),\qquad h(x)=3-\sqrt2\,x$$

$$g'(x)=2\sin\left(\frac{\pi}{4}-2x\right),\qquad h'(x)=-\sqrt2$$

Составим неравенство:

$$2\sin\left(\frac{\pi}{4}-2x\right)>-\sqrt2$$

$$\sin\left(\frac{\pi}{4}-2x\right)>-\frac{\sqrt2}{2}$$

Тогда

$$-\frac{\pi}{4}+2\pi k<\frac{\pi}{4}-2x<\frac{5\pi}{4}+2\pi k,\qquad k\in\mathbb Z$$

$$-\frac{\pi}{2}+2\pi k<-2x<\pi+2\pi k$$

$$-\frac{\pi}{2}+\pi k<x<\frac{\pi}{4}+\pi k,\qquad k\in\mathbb Z.$$

Ответ

а) $$x\in(-\infty;0)\cup(3;+\infty).$$

б) $$x\in\varnothing.$$

в) $$x\in\left(\frac{\pi}{3}+\pi k;\frac{\pi}{2}+\pi k\right)\cup\left(\frac{\pi}{2}+\pi k;\frac{2\pi}{3}+\pi k\right),\ k\in\mathbb Z.$$

г) $$x\in\left(-\frac{\pi}{2}+\pi k;\frac{\pi}{4}+\pi k\right),\ k\in\mathbb Z.$$