Упр.28.41 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

Определите абсциссы точек, в которых касательная к графику функции $$y=\Phi(x)$$ образует тупой угол с положительным направлением оси $$x$$, если:
а) $$\Phi(x)=\sin x+3$$;
б) $$\Phi(x)=0{,}2x^5-3\frac{1}{3}x^3+9x$$.

Так как касательная образует тупой угол с положительным направлением оси $$x,$$ то $$\tan \alpha < 0,$$ а значит, $$\varphi'(x) < 0.$$

а)

$$\varphi(x)=\sin x+3$$

Найдём производную:

$$\varphi'(x)=(\sin x+3)’=\cos x.$$

Тогда нужно решить неравенство

$$\cos x<0.$$

Это выполняется при

$$\frac{\pi}{2}+2\pi k<x<\frac{3\pi}{2}+2\pi k,\quad k\in \mathbb{Z}.$$

б)

$$\varphi(x)=0{,}2x^5-3\frac{1}{3}x^3+9x$$

Найдём производную:

$$\varphi'(x)=\left(0{,}2x^5-3\frac{1}{3}x^3+9x\right)’=0{,}2\cdot 5x^4-3\frac{1}{3}\cdot 3x^2+9=x^4-10x^2+9.$$

Решаем неравенство:

$$x^4-10x^2+9<0.$$

Положим $$t=x^2.$$ Тогда

$$t^2-10t+9<0,$$

$$t^2-10t+9=(t-1)(t-9).$$

Следовательно,

$$1<t<9,$$

то есть

$$1<x^2<9.$$

Отсюда

$$-3<x<-1 \quad \text{или} \quad 1<x<3.$$

Ответ: а) $$\frac{\pi}{2}+2\pi k<x<\frac{3\pi}{2}+2\pi k,\ k\in\mathbb{Z};$$ б) $$x\in(-3;-1)\cup(1;3).$$