Упр.28.40 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. Определите абсциссы точек, в которых касательная к графику функции $$y=h(x)$$ образует острый угол с положительным направлением оси $$x$$, если:
   а) $$h(x)=x^3-3x^2+1$$;
   б) $$h(x)=4\sqrt{x}-x$$;
   в) $$h(x)=x^3-x^4-19$$;
   г) $$h(x)=\operatorname{tg}x-4x$$.

Так как касательная образует острый угол с положительным направлением оси $$x$$, то $$\tan \alpha>0$$, а значит, нужно найти те значения $$x$$, при которых $$h'(x)>0$$.

а)

$$h(x)=x^3-3x^2+1$$

$$h'(x)=3x^2-6x=3x(x-2)$$

Решаем неравенство:

$$3x(x-2)>0$$

Так как $$3>0$$, получаем:

$$x(x-2)>0$$

Отсюда

$$x\in(-\infty;0)\cup(2;+\infty).$$

б)

$$h(x)=4\sqrt{x}-x$$

Область определения: $$x\ge 0$$. Производная:

$$h'(x)=4\cdot\frac{1}{2\sqrt{x}}-1=\frac{2-\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$$

Для острых углов нужно:

$$\frac{2-\sqrt{x}}{\sqrt{x}}>0$$

Так как $$\sqrt{x}>0$$, то достаточно:

$$2-\sqrt{x}>0$$

$$\sqrt{x}<2$$

$$0<x<4.$$

в)

$$h(x)=x^3-x^4-19$$

$$h'(x)=3x^2-4x^3=x^2(3-4x)$$

Решаем неравенство:

$$x^2(3-4x)>0$$

Так как $$x^2>0$$ при $$x\ne 0$$, а множитель $$3-4x$$ должен быть положительным, получаем:

$$x\ne 0,\qquad 3-4x>0$$

$$x<\frac34.$$

С учётом исключения $$x=0$$:

$$x\in(-\infty;0)\cup\left(0;\frac34\right).$$

г)

$$h(x)=\tg x-4x$$

Область определения: $$x\ne \frac{\pi}{2}+\pi n,\; n\in\mathbb Z.$$ Производная:

$$h'(x)=\frac{1}{\cos^2 x}-4=\frac{1-4\cos^2 x}{\cos^2 x}$$

Нужно решить неравенство:

$$\frac{1-4\cos^2 x}{\cos^2 x}>0$$

Так как $$\cos^2 x>0$$ на области определения, то

$$1-4\cos^2 x>0$$

$$\cos^2 x<\frac14$$

$$-\frac12<\cos x<\frac12.$$

Это выполняется при

$$\frac{\pi}{3}+\pi n<x<\frac{2\pi}{3}+\pi n,\qquad n\in\mathbb Z,$$

но точки $$x=\frac{\pi}{2}+\pi n$$ исключаются из области определения. Поэтому

$$x\in\left(\frac{\pi}{3}+\pi n;\frac{\pi}{2}+\pi n\right)\cup\left(\frac{\pi}{2}+\pi n;\frac{2\pi}{3}+\pi n\right),\quad n\in\mathbb Z.$$

Ответ

а) $$x\in(-\infty;0)\cup(2;+\infty)$$; б) $$x\in(0;4)$$; в) $$x\in(-\infty;0)\cup\left(0;\frac34\right)$$; г) $$x\in\left(\frac{\pi}{3}+\pi n;\frac{\pi}{2}+\pi n\right)\cup\left(\frac{\pi}{2}+\pi n;\frac{2\pi}{3}+\pi n\right),\ n\in\mathbb Z.$$