Упр.28.38 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

Решите неравенство $$g'(x)>0$$, если:

а) $$g(x)=x^3+x^4$$;

б) $$g(x)=\frac{4}{2-5x}$$.

а) Найдём производную:

$$g'(x)=(x^3+x^4)’=3x^2+4x^3=x^2(3+4x).$$

Решаем неравенство:

$$x^2(3+4x)>0.$$

Так как $$x^2>0$$ при $$x\ne 0,$$ а множитель $$3+4x>0$$ при $$x>-\frac34,$$ то с учётом строгого неравенства получаем:

$$x\in\left(-\frac34;0\right)\cup(0;+\infty).$$

Ответ: $$x\in\left(-\frac34;0\right)\cup(0;+\infty).$$

б) Найдём производную:

$$g'(x)=\left(\frac{4}{2-5x}\right)’=4\cdot\left(2-5x\right)^{-1}{}’=\frac{20}{(2-5x)^2}.$$

Решаем неравенство:

$$\frac{20}{(2-5x)^2}>0.$$

Числитель положителен, а знаменатель не должен обращаться в ноль:

$$2-5x\ne 0,\qquad x\ne \frac25.$$

Значит, неравенство выполняется при всех допустимых значениях переменной:

$$x\in\left(-\infty;\frac25\right)\cup\left(\frac25;+\infty\right).$$

Ответ: $$x\in\left(-\infty;\frac25\right)\cup\left(\frac25;+\infty\right).$$