Упр.28.37 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

а) Найдём производную:

$$f(x)=\sin 2x \quad \Rightarrow \quad f'(x)=2\cos 2x.$$

Решаем неравенство:

$$2\cos 2x<0 \quad \Rightarrow \quad \cos 2x<0.$$

Косинус отрицателен при

$$\frac{\pi}{2}+2\pi n<2x<\frac{3\pi}{2}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Делим все части неравенства на $$2$$:

$$\frac{\pi}{4}+\pi n<x<\frac{3\pi}{4}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Ответ: $$x\in\left(\frac{\pi}{4}+\pi n;\,\frac{3\pi}{4}+\pi n\right),\quad n\in\mathbb Z.$$

б) Найдём производную:

$$f(x)=-4\cos x+2x \quad \Rightarrow \quad f'(x)=4\sin x+2.$$

Решаем неравенство:

$$4\sin x+2<0 \quad \Rightarrow \quad \sin x<-\frac12.$$

Синус меньше $$-\frac12$$ на промежутке

$$-\frac{5\pi}{6}+2\pi n<x<-\frac{\pi}{6}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Эквивалентно можно записать:

$$\frac{7\pi}{6}+2\pi n<x<\frac{11\pi}{6}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Ответ: $$x\in\left(-\frac{5\pi}{6}+2\pi n;\,-\frac{\pi}{6}+2\pi n\right),\quad n\in\mathbb Z.$$