Упр.28.35 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

Определите абсциссы точек, в которых угловой коэффициент касательной к графику функции $$y=f(x)$$ равен $$k$$, если:
а) $$f(x)=\sqrt{x}-x$$, $$k=1$$;
б) $$f(x)=\sin x\cdot\cos x$$, $$k=-\frac{\sqrt{2}}{2}$$;
в) $$f(x)=\sqrt{x}+3x$$, $$k=4$$;
г) $$f(x)=\cos^2 x$$, $$k=\frac{1}{2}$$.

а) $$f(x)=\sqrt{x}-x$$

Найдём производную:

$$f'(x)=\left(\sqrt{x}\right)’-\left(x\right)’=\frac{1}{2\sqrt{x}}-1.$$

По условию $$f'(x)=1$$, значит

$$\frac{1}{2\sqrt{x}}-1=1$$

$$\frac{1}{2\sqrt{x}}=2$$

$$2\sqrt{x}=\frac{1}{2}$$

$$\sqrt{x}=\frac{1}{4}$$

$$x=\left(\frac{1}{4}\right)^2=\frac{1}{16}.$$

б) $$f(x)=\sin x\cdot \cos x$$

Найдём производную:

$$f'(x)=(\sin x)’\cos x+\sin x\cdot(\cos x)’=\cos x\cos x-\sin x\sin x=\cos^2 x-\sin^2 x=\cos 2x.$$

По условию $$f'(x)=-\frac{\sqrt{2}}{2}$$, значит

$$\cos 2x=-\frac{\sqrt{2}}{2}.$$

Тогда

$$2x=\pm \frac{3\pi}{4}+2\pi n,\quad n\in \mathbb{Z},$$

откуда

$$x=\pm \frac{3\pi}{8}+\pi n,\quad n\in \mathbb{Z}.$$

в) $$f(x)=\sqrt{x}+3x$$

Найдём производную:

$$f'(x)=\left(\sqrt{x}\right)’+(3x)’=\frac{1}{2\sqrt{x}}+3.$$

По условию $$f'(x)=4$$, значит

$$\frac{1}{2\sqrt{x}}+3=4$$

$$\frac{1}{2\sqrt{x}}=1$$

$$2\sqrt{x}=1$$

$$\sqrt{x}=\frac{1}{2}$$

$$x=\left(\frac{1}{2}\right)^2=\frac{1}{4}.$$

г) $$f(x)=\cos^2 x$$

Найдём производную:

$$f'(x)=2\cos x\cdot(-\sin x)=-2\sin x\cos x=-\sin 2x.$$

По условию $$f'(x)=\frac{1}{2}$$, значит

$$-\sin 2x=\frac{1}{2}$$

$$\sin 2x=-\frac{1}{2}.$$

Тогда

$$2x=(-1)^{n+1}\frac{\pi}{6}+\pi n,\quad n\in \mathbb{Z},$$

откуда

$$x=(-1)^{n+1}\frac{\pi}{12}+\frac{\pi n}{2},\quad n\in \mathbb{Z}.$$

Ответ: а) $$\frac{1}{16}$$; б) $$x=\pm \frac{3\pi}{8}+\pi n,\ n\in\mathbb{Z}$$; в) $$\frac{1}{4}$$; г) $$x=(-1)^{n+1}\frac{\pi}{12}+\frac{\pi n}{2},\ n\in\mathbb{Z}$$.