Упр.28.31 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

Найдите значение производной функции в точке $$x_0$$:

а) $$y=(3x-2)^7,\quad x_0=3$$;

б) $$y=\sin\left(\frac{\pi}{6}-2x\right),\quad x_0=\frac{\pi}{12}$$;

в) $$y=\tg\left(3x-\frac{\pi}{4}\right),\quad x_0=\frac{\pi}{12}$$;

г) $$y=\sqrt{25-9x},\quad x_0=1$$.

а) $$y=(3x-2)^7$$

Найдём производную:

$$y’ = 7(3x-2)^6 \cdot 3 = 21(3x-2)^6$$

Подставим $$x_0=3$$:

$$y'(3)=21(3\cdot 3-2)^6=21\cdot 7^6=3\cdot 7^7$$

Ответ: $$3\cdot 7^7$$

б) $$y=\sin\left(\frac{\pi}{6}-2x\right)$$

$$y’=\cos\left(\frac{\pi}{6}-2x\right)\cdot(-2)=-2\cos\left(\frac{\pi}{6}-2x\right)$$

Подставим $$x_0=\frac{\pi}{12}$$:

$$y’\left(\frac{\pi}{12}\right)=-2\cos\left(\frac{\pi}{6}-2\cdot\frac{\pi}{12}\right)=-2\cos 0=-2$$

Ответ: $$-2$$

в) $$y=\tg\left(3x-\frac{\pi}{4}\right)$$

$$y’=\frac{1}{\cos^2\left(3x-\frac{\pi}{4}\right)}\cdot 3=\frac{3}{\cos^2\left(3x-\frac{\pi}{4}\right)}$$

Подставим $$x_0=\frac{\pi}{12}$$:

$$y’\left(\frac{\pi}{12}\right)=\frac{3}{\cos^2\left(3\cdot\frac{\pi}{12}-\frac{\pi}{4}\right)}=\frac{3}{\cos^2 0}=3$$

Ответ: $$3$$

г) $$y=\sqrt{25-9x}$$

$$y’=\frac{(25-9x)’}{2\sqrt{25-9x}}=\frac{-9}{2\sqrt{25-9x}}$$

Подставим $$x_0=1$$:

$$y'(1)=\frac{-9}{2\sqrt{25-9\cdot 1}}=\frac{-9}{2\sqrt{16}}=\frac{-9}{8}=-1\frac{1}{8}$$

Ответ: $$-1\frac{1}{8}$$