Упр.28.25 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)
Найдите тангенс угла между касательной $$y=h(x)$$ в точке с абсциссой $$x_0$$ и осью $$x$$:
а) $$h(x)=x^6-4x$$, $$x_0=1$$;
б) $$h(x)=\sqrt{x}-3$$, $$x_0=\frac{1}{4}$$;
в) $$h(x)=-x^5-2x^2+2$$, $$x_0=-1$$;
г) $$h(x)=\frac{25}{x}+2$$, $$x_0=\frac{5}{4}$$.
Найдём производную функции и подставим в неё заданную абсциссу точки касания. Тангенс угла между касательной и осью $$x$$ равен значению производной в этой точке.
$$h(x)=x^6-4x,\quad x_0=1$$
$$h'(x)=6x^5-4$$
$$\tg \alpha=h'(1)=6\cdot 1^5-4=2$$
$$h(x)=\sqrt{x}-3,\quad x_0=\frac14$$
$$h'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}$$
$$\tg \alpha=h’\!\left(\frac14\right)=\frac{1}{2\sqrt{\frac14}}=\frac{1}{2\cdot \frac12}=1$$
$$h(x)=-x^5-2x^2+2,\quad x_0=-1$$
$$h'(x)=-5x^4-4x$$
$$\tg \alpha=h'(-1)=-5\cdot (-1)^4-4\cdot (-1)=-5+4=-1$$
$$h(x)=\frac{25}{x}+2,\quad x_0=\frac54$$
$$h'(x)=-\frac{25}{x^2}$$
$$\tg \alpha=h’\!\left(\frac54\right)=-\frac{25}{\left(\frac54\right)^2}=-\frac{25}{\frac{25}{16}}=-16$$
Ответ: а) $$2$$; б) $$1$$; в) $$-1$$; г) $$-16$$.
