Упр.27.15 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

Пользуясь алгоритмом нахождения производной (см. п. 2 в §27), выведите формулу дифференцирования функции:

а) $$y=x^2+x$$; б) $$y=2x^2-3$$; в) $$y=3x-2x^2$$; г) $$y=x^4+4x-5$$.

Найдём производные по определению.

1. $$y=x^2+x$$

   $$y(x+\Delta x)=(x+\Delta x)^2+(x+\Delta x)=x^2+2x\Delta x+(\Delta x)^2+x+\Delta x$$

   $$\Delta y=y(x+\Delta x)-y(x)=2x\Delta x+(\Delta x)^2+\Delta x$$

   $$\frac{\Delta y}{\Delta x}=2x+\Delta x+1$$

   $$y'(x)=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\to 0}(2x+\Delta x+1)=2x+1$$

2. $$y=2x^2-3$$

   $$y(x+\Delta x)=2(x+\Delta x)^2-3=2x^2+4x\Delta x+2(\Delta x)^2-3$$

   $$\Delta y=y(x+\Delta x)-y(x)=4x\Delta x+2(\Delta x)^2$$

   $$\frac{\Delta y}{\Delta x}=4x+2\Delta x$$

   $$y'(x)=\lim_{\Delta x\to 0}(4x+2\Delta x)=4x$$

3. $$y=3x-2x^2$$

   $$y(x+\Delta x)=3(x+\Delta x)-2(x+\Delta x)^2=3x+3\Delta x-2x^2-4x\Delta x-2(\Delta x)^2$$

   $$\Delta y=y(x+\Delta x)-y(x)=3\Delta x-4x\Delta x-2(\Delta x)^2$$

   $$\frac{\Delta y}{\Delta x}=3-4x-2\Delta x$$

   $$y'(x)=\lim_{\Delta x\to 0}(3-4x-2\Delta x)=3-4x$$

4. $$y=x^4+4x-5$$

   $$y(x+\Delta x)=(x+\Delta x)^4+4(x+\Delta x)-5$$

   $$y(x+\Delta x)=x^4+4x^3\Delta x+6x^2(\Delta x)^2+4x(\Delta x)^3+(\Delta x)^4+4x+4\Delta x-5$$

   $$\Delta y=y(x+\Delta x)-y(x)=4x^3\Delta x+6x^2(\Delta x)^2+4x(\Delta x)^3+(\Delta x)^4+4\Delta x$$

   $$\frac{\Delta y}{\Delta x}=4x^3+6x^2\Delta x+4x(\Delta x)^2+(\Delta x)^3+4$$

   $$y'(x)=\lim_{\Delta x\to 0}\left(4x^3+6x^2\Delta x+4x(\Delta x)^2+(\Delta x)^3+4\right)=4x^3+4$$

Ответ: $$y'(x)=2x+1,\quad y'(x)=4x,\quad y'(x)=3-4x,\quad y'(x)=4x^3+4.$$