Упр.26.5 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. Постройте эскиз графика какой-нибудь функции $$y=h(x)$$, обладающей указанными свойствами: а) $$\lim_{x\to+\infty} h(x)=4$$ и функция возрастает; б) $$\lim_{x\to+\infty} h(x)=1$$ и функция ограничена снизу; в) $$\lim_{x\to-\infty} h(x)=5$$ и функция убывает; г) $$\lim_{x\to\infty} h(x)=1$$ и функция ограничена.

Подойдут, например, такие функции:

1. $$h(x)=4-2^{-x}$$

   При $$x\to +\infty$$ имеем $$2^{-x}\to 0$$, значит $$h(x)\to 4$$. Так как $$2^{-x}$$ убывает, то функция $$h(x)=4-2^{-x}$$ возрастает.

2. $$h(x)=1+2^{-x}$$

   При $$x\to +\infty$$ имеем $$2^{-x}\to 0$$, значит $$h(x)\to 1$$. Кроме того, $$2^{-x}>0$$ при всех $$x$$, поэтому $$h(x)>1$$, то есть функция ограничена снизу.

3. $$h(x)=5-2^{-x}$$

   При $$x\to -\infty$$ имеем $$2^{-x}\to 0$$, значит $$h(x)\to 5$$. Так как $$2^{-x}$$ возрастает, то функция $$h(x)=5-2^{-x}$$ убывает.

4. $$h(x)=1+\dfrac{6}{2^x+2^{-x}}$$

   При $$x\to \pm\infty$$ знаменатель $$2^x+2^{-x}\to +\infty$$, поэтому дробь стремится к нулю и $$h(x)\to 1$$. При этом $$2^x+2^{-x}>0$$, значит функция ограничена.

Ответ

$$h(x)=4-2^{-x},\quad h(x)=1+2^{-x},\quad h(x)=5-2^{-x},\quad h(x)=1+\dfrac{6}{2^x+2^{-x}}.$$