Упр.26.4 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

Постройте эскиз графика какой-нибудь функции $$y=f(x)$$, обладающей указанными свойствами:

а) $$\lim_{x\to+\infty} f(x)=5$$ и $$f(x)>0$$ на $$(-\infty,+\infty)$$;

б) $$\lim_{x\to+\infty} f(x)=0$$ и $$f(x)<0$$ на $$(-\infty,+\infty)$$.

Подойдут, например, такие функции:

1. $$f(x)=5+2^{-x}$$

   Тогда $$2^{-x}>0$$ при всех $$x$$, значит $$f(x)>0$$ на $$(-\infty;+\infty)$$. Кроме того, при $$x\to+\infty$$ имеем $$2^{-x}\to 0$$, поэтому

   $$\lim_{x\to+\infty} f(x)=5.$$

2. $$f(x)=-2^x$$

   Так как $$2^x>0$$ при всех $$x$$, то $$f(x)<0$$ на $$(-\infty;+\infty)$$. При $$x\to-\infty$$ выполняется $$2^x\to 0$$, следовательно,

   $$\lim_{x\to-\infty} f(x)=0.$$

Ответ: можно взять $$f(x)=5+2^{-x}$$ и $$f(x)=-2^x$$.