Упр.26.26 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. а) Найдите предел $$\lim_{x \to 3}\frac{\sqrt{x+6}-3}{x^2-3x}$$;
   б) Найдите предел $$\lim_{x \to \infty}\left(\sqrt{2x+3}-\sqrt{2x-7}\right)$$.

а) Рационализуем числитель:

$$\lim_{x\to 3}\frac{\sqrt{x+6}-3}{x^2-3x} = \lim_{x\to 3}\frac{(\sqrt{x+6}-3)(\sqrt{x+6}+3)}{(x^2-3x)(\sqrt{x+6}+3)}$$
$$= \lim_{x\to 3}\frac{x+6-9}{x(x-3)(\sqrt{x+6}+3)} = \lim_{x\to 3}\frac{x-3}{x(x-3)(\sqrt{x+6}+3)}$$
$$= \lim_{x\to 3}\frac{1}{x(\sqrt{x+6}+3)} = \frac{1}{3(\sqrt{9}+3)} = \frac{1}{18}.$$

Ответ: $$\frac{1}{18}$$

б) Умножим на сопряжённое выражение:

$$\lim_{x\to\infty}\left(\sqrt{2x+3}-\sqrt{2x-7}\right) = \lim_{x\to\infty}\frac{(\sqrt{2x+3}-\sqrt{2x-7})(\sqrt{2x+3}+\sqrt{2x-7})}{\sqrt{2x+3}+\sqrt{2x-7}}$$
$$= \lim_{x\to\infty}\frac{(2x+3)-(2x-7)}{\sqrt{2x+3}+\sqrt{2x-7}} = \lim_{x\to\infty}\frac{10}{\sqrt{2x+3}+\sqrt{2x-7}} =0.$$

Ответ: $$0$$