Упр.26.13 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

Задача

Вычислите:

а) $$\lim_{x\to\infty}\left(\frac{1}{x^2}+\frac{3}{x^3}\right)$$;
б) $$\lim_{x\to\infty}\left(\frac{5}{x^3}+1\right)\cdot\left(-\frac{8}{x^2}-2\right)$$;
в) $$\lim_{x\to\infty}\left(\frac{2}{x^2}+\frac{8}{x^3}\right)$$;
г) $$\lim_{x\to\infty}\left(\frac{7}{x^6}-2\right)\cdot\left(-\frac{6}{x^{10}}-3\right)$$.

Подробный ответ

Используем теоремы о пределах: при $$x \to \infty$$ имеем $$\frac{1}{x^n}\to 0$$ для любого натурального $$n$$.

Ход решения

а)

$$\lim_{x\to\infty}\left(\frac{1}{x^2}+\frac{3}{x^3}\right) = \lim_{x\to\infty}\frac{1}{x^2} + 3\lim_{x\to\infty}\frac{1}{x^3} = 0+3\cdot 0=0$$

б)

$$\lim_{x\to\infty}\left(\frac{5}{x^3}+1\right)\left(-\frac{8}{x^2}-2\right) = \left(\lim_{x\to\infty}\frac{5}{x^3}+1\right) \left(\lim_{x\to\infty}\left(-\frac{8}{x^2}-2\right)\right)$$

$$=(5\cdot 0+1)(-8\cdot 0-2)=1\cdot(-2)=-2$$

в)

$$\lim_{x\to\infty}\left(\frac{2}{x^2}+\frac{8}{x^3}\right) = 2\lim_{x\to\infty}\frac{1}{x^2} + 8\lim_{x\to\infty}\frac{1}{x^3} = 2\cdot 0+8\cdot 0=0$$

г)

$$\lim_{x\to\infty}\left(\frac{7}{x^6}-2\right)\left(-\frac{6}{x^{10}}-3\right) = \left(\lim_{x\to\infty}\frac{7}{x^6}-2\right) \left(\lim_{x\to\infty}\left(-\frac{6}{x^{10}}-3\right)\right)$$

$$=(7\cdot 0-2)(-6\cdot 0-3)=(-2)(-3)=6$$