Упр.25.9 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

Найдите сумму геометрической прогрессии $$(b_n)$$, если:
а) $$b_n=\frac{25}{3^n}$$;
б) $$b_n=(-1)^n\cdot\frac{13}{2^{n-1}}$$;
в) $$b_n=\frac{45}{6^n}$$;
г) $$b_n=(-1)^n\cdot\frac{7}{6^{n-2}}$$.

Используем формулу суммы бесконечной геометрической прогрессии:

$$S=\frac{b_1}{1-q}, \qquad q=\frac{b_{n+1}}{b_n}.$$

1. $$b_n=\frac{25}{3^n}.$$

   $$b_1=\frac{25}{3}, \qquad q=\frac{b_{n+1}}{b_n}=\frac{25/3^{n+1}}{25/3^n}=\frac13.$$

   $$S=\frac{25/3}{1-\frac13}=\frac{25/3}{2/3}=\frac{25}{2}=12{,}5.$$

2. $$b_n=(-1)^n\cdot \frac{13}{2^{\,n-1}}.$$

   $$b_1=(-1)^1\cdot \frac{13}{2^0}=-13, \qquad q=\frac{b_{n+1}}{b_n}=\frac{(-1)^{n+1}\cdot 13/2^n}{(-1)^n\cdot 13/2^{n-1}}=-\frac12.$$

   $$S=\frac{-13}{1-(-\frac12)}=\frac{-13}{\frac32}=-\frac{26}{3}=-8\frac23.$$

3. $$b_n=\frac{45}{6^n}.$$

   $$b_1=\frac{45}{6}=\frac{15}{2}, \qquad q=\frac{45/6^{n+1}}{45/6^n}=\frac16.$$

   $$S=\frac{15/2}{1-\frac16}=\frac{15/2}{5/6}=9.$$

4. $$b_n=(-1)^n\cdot \frac{7}{6^{\,n-2}}.$$

   $$b_1=(-1)^1\cdot \frac{7}{6^{-1}}=-42, \qquad q=\frac{b_{n+1}}{b_n}=\frac{(-1)^{n+1}\cdot 7/6^{n-1}}{(-1)^n\cdot 7/6^{n-2}}=-\frac16.$$

   $$S=\frac{-42}{1-(-\frac16)}=\frac{-42}{\frac76}=-36.$$

Ответ: а) $$12{,}5$$; б) $$-8\frac23$$; в) $$9$$; г) $$-36$$.