Упр.25.3 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

Вычислите:

• а) $$2+1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\ldots$$;
• б) $$49+7+1+\frac{1}{7}+\frac{1}{7^2}+\ldots$$;
• в) $$\frac{3}{2}-1+\frac{2}{3}-\frac{4}{9}+\ldots$$;
• г) $$125+25+5+1+\ldots$$.

Используем формулу суммы бесконечной геометрической прогрессии:

$$S=\frac{b_1}{1-q}, \quad |q|<1.$$

1. $$2+1+\frac12+\frac14+\ldots$$

   Здесь $$b_1=2,$$ $$q=\frac{1}{2}.$$ Тогда

   $$S=\frac{2}{1-\frac12}=\frac{2}{\frac12}=4.$$

2. $$49+7+1+\frac17+\frac{1}{7^2}+\ldots$$

   Здесь $$b_1=49,$$ $$q=\frac{7}{49}=\frac17.$$ Тогда

   $$S=\frac{49}{1-\frac17}=\frac{49}{\frac67}=49\cdot\frac76=\frac{343}{6}=57\frac16.$$

3. $$\frac32-1+\frac23-\frac49+\ldots$$

   Здесь $$b_1=\frac32,$$ $$q=\frac{-1}{\frac32}=-\frac23.$$ Тогда

   $$S=\frac{\frac32}{1-(-\frac23)}=\frac{\frac32}{\frac53}=\frac32\cdot\frac35=\frac9{10}=0{,}9.$$

4. $$125+25+5+1+\ldots$$

   Здесь $$b_1=125,$$ $$q=\frac{25}{125}=\frac15.$$ Тогда

   $$S=\frac{125}{1-\frac15}=\frac{125}{\frac45}=125\cdot\frac54=\frac{625}{4}=156\frac14.$$

Ответ: $$4;\ 57\frac16;\ 0{,}9;\ 156\frac14.$$