Упр.25.15 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. Представьте в виде обыкновенной дроби: а) $$0,(15)$$; б) $$0,1(2)$$; в) $$0,(18)$$; г) $$0,2(34)$$.

Представим каждую периодическую дробь в виде суммы бесконечной геометрической прогрессии.

а)

$$0,(15)=0,151515\ldots=0,15+0,0015+0,000015+\ldots$$

Первый член прогрессии $$b_1=0,15$$, знаменатель $$q=0,01$$. Тогда
$$S=\frac{b_1}{1-q}=\frac{0,15}{1-0,01}=\frac{0,15}{0,99}=\frac{15}{99}=\frac{5}{33}.$$

б)

$$0,1(2)=0,12222\ldots=0,1+0,02+0,002+0,0002+\ldots$$

Здесь $$b_1=0,02$$, $$q=0,1$$. Тогда
$$S=\frac{0,02}{1-0,1}=\frac{0,02}{0,9}=\frac{2}{90}=\frac{1}{45}.$$

Но нужно учесть целую часть $$0,1$$:
$$0,1(2)=\frac{1}{10}+\frac{1}{45}=\frac{9}{90}+\frac{2}{90}=\frac{11}{90}.$$

в)

$$0,(18)=0,181818\ldots=0,18+0,0018+0,000018+\ldots$$

Первый член $$b_1=0,18$$, знаменатель $$q=0,01$$. Тогда
$$S=\frac{0,18}{1-0,01}=\frac{0,18}{0,99}=\frac{18}{99}=\frac{2}{11}.$$

г)

$$0,2(34)=0,2343434\ldots=0,2+0,034+0,00034+\ldots$$

Здесь $$b_1=0,034$$, $$q=0,01$$. Тогда
$$S=\frac{0,034}{1-0,01}=\frac{0,034}{0,99}=\frac{34}{990}=\frac{17}{495}.$$

Добавим целую часть $$0,2$$:
$$0,2(34)=\frac{1}{5}+\frac{17}{495}=\frac{99}{495}+\frac{17}{495}=\frac{116}{495}.$$

Ответ

$$\frac{5}{33};\ \frac{11}{90};\ \frac{2}{11};\ \frac{116}{495}.$$