Упр.25.14 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

Решите уравнение, если известно, что $$|x|<1$$.

а) $$x+x^2+x^3+x^4+\ldots+x^n+\ldots=4$$;

б) $$2x-4x^2+8x^3-16x^4+\ldots=\frac{3}{8}$$.

Используем формулу суммы бесконечной геометрической прогрессии:

$$S=\frac{b_1}{1-q}, \quad |q|<1.$$

а)

$$x+x^2+x^3+x^4+\dots=4$$

Здесь $$b_1=x,\quad q=x.$$ Тогда

$$\frac{x}{1-x}=4.$$

Решим уравнение:

$$x=4(1-x) \\\\ x=4-4x \\\\ 5x=4 \\\\ x=\frac45=0{,}8$$

Проверка условия $$|x|<1$$ выполнена.

б)

$$2x-4x^2+8x^3-16x^4+\dots=\frac38$$

Это геометрическая прогрессия, где

$$b_1=2x,\quad q=-2x.$$

Тогда

$$\frac{2x}{1-(-2x)}=\frac{2x}{1+2x}=\frac38.$$

Решим уравнение:

$$8\cdot 2x=3(1+2x) \\\\ 16x=3+6x \\\\ 10x=3 \\\\ x=\frac3{10}=0{,}3$$

Проверка условия $$|x|<1$$ выполнена.

Ответ: а) $$0{,}8$$; б) $$0{,}3$$.