Упр.25.13 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. Упростите выражение (при условии, что $$x \ne \frac{\pi n}{2}$$):
   а) $$\sin x+\sin^2 x+\sin^3 x+\dots+\sin^n x+\dots$$;
   б) $$\cos x-\cos^2 x+\cos^3 x-\cos^4 x+\dots$$;
   в) $$\cos^2 x+\cos^4 x+\cos^6 x+\cos^8 x+\dots$$;
   г) $$1-\sin^3 x+\sin^6 x-\sin^9 x+\dots$$.

Поскольку в каждом пункте дана бесконечная геометрическая прогрессия, используем формулу суммы:

$$S=\frac{b_1}{1-q},$$

где $$b_1$$ — первый член прогрессии, $$q$$ — её знаменатель.

а)

$$S=\sin x+\sin^2 x+\sin^3 x+\cdots$$

Здесь $$b_1=\sin x,$$ $$q=\sin x.$$ Тогда

$$S=\frac{\sin x}{1-\sin x}.$$

б)

$$S=\cos x-\cos^2 x+\cos^3 x-\cos^4 x+\cdots$$

Это геометрическая прогрессия с

$$b_1=\cos x,\qquad q=-\cos x.$$

Следовательно,

$$S=\frac{\cos x}{1-(-\cos x)}=\frac{\cos x}{1+\cos x}.$$

в)

$$S=\cos^2 x+\cos^4 x+\cos^6 x+\cos^8 x+\cdots$$

Здесь

$$b_1=\cos^2 x,\qquad q=\cos^2 x.$$

Тогда

$$S=\frac{\cos^2 x}{1-\cos^2 x}=\frac{\cos^2 x}{\sin^2 x}=\ctg^2 x.$$

г)

$$S=1-\sin^3 x+\sin^6 x-\sin^9 x+\cdots$$

Это геометрическая прогрессия с

$$b_1=1,\qquad q=-\sin^3 x.$$

Следовательно,

$$S=\frac{1}{1-(-\sin^3 x)}=\frac{1}{1+\sin^3 x}.$$

Ответ

а) $$\frac{\sin x}{1-\sin x}$$; б) $$\frac{\cos x}{1+\cos x}$$; в) $$\ctg^2 x$$; г) $$\frac{1}{1+\sin^3 x}$$.