Упр.24.8 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

а) Последовательность имеет вид $$1,\ \frac12,\ \frac14,\ \frac18,\ \frac1{16},\ldots$$

Это степени числа $$2$$ с отрицательными показателями:

$$1=2^0,\ \frac12=2^{-1},\ \frac14=2^{-2},\ \frac18=2^{-3},\ \frac1{16}=2^{-4}.$$

Значит, одна из формул общего члена:

$$a_n=2^{1-n}.$$

б) Последовательность имеет вид $$\frac34,\ \frac56,\ \frac78,\ \frac9{10},\ \frac{11}{12},\ldots$$

Числители — нечётные числа, на единицу меньшие знаменателей, а знаменатели — чётные числа:

$$\frac34=\frac{2\cdot1+1}{2\cdot1+2},\ \frac56=\frac{2\cdot2+1}{2\cdot2+2},\ \frac78=\frac{2\cdot3+1}{2\cdot3+2}.$$

Следовательно,

$$a_n=\frac{2n+1}{2n+2}.$$

в) Последовательность имеет вид $$1,\ \frac18,\ \frac1{27},\ \frac1{64},\ \frac1{125},\ldots$$

Здесь знаменатели — кубы натуральных чисел:

$$1=\frac1{1^3},\ \frac18=\frac1{2^3},\ \frac1{27}=\frac1{3^3},\ \frac1{64}=\frac1{4^3},\ \frac1{125}=\frac1{5^3}.$$

Значит,

$$a_n=\frac1{n^3}.$$

г) Последовательность имеет вид $$\frac1{3\cdot5},\ \frac1{5\cdot7},\ \frac1{7\cdot9},\ \frac1{9\cdot11},\ \frac1{11\cdot13},\ldots$$

В знаменателе стоят два последовательных нечётных числа:

$$3=2\cdot1+1,\ 5=2\cdot1+3,\ 5=2\cdot2+1,\ 7=2\cdot2+3,\ldots$$

Поэтому

$$a_n=\frac1{(2n+1)(2n+3)}.$$

Ответ: а) $$a_n=2^{1-n}$$; б) $$a_n=\frac{2n+1}{2n+2}$$; в) $$a_n=\frac1{n^3}$$; г) $$a_n=\frac1{(2n+1)(2n+3)}$$.