Упр.24.33 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

Вычислите предел последовательности $$(y_n)$$:

• а) $$y_n=\frac{(2n+1)(n-3)}{n^2}$$;
• б) $$y_n=\frac{(3n+1)(4n-1)}{(n-1)^2}$$;
• в) $$y_n=\frac{(3n-2)(2n+3)}{n^2}$$;
• г) $$y_n=\frac{(1-2n)(1+n)}{(n+2)^2}$$.

1. $$y_n=\frac{(2n+1)(n-3)}{n^2}=\frac{2n^2-5n-3}{n^2}=2-\frac{5}{n}-\frac{3}{n^2}.$$

   При $$n\to\infty$$ имеем $$\frac{5}{n}\to 0$$ и $$\frac{3}{n^2}\to 0$$, значит

   $$\lim_{n\to\infty} y_n=2.$$

2. $$y_n=\frac{(3n+1)(4n-1)}{(n-1)^2}=\frac{12n^2+n-1}{n^2-2n+1}.$$

   Разделим числитель и знаменатель на $$n^2$$:

   $$y_n=\frac{12+\frac{1}{n}-\frac{1}{n^2}}{1-\frac{2}{n}+\frac{1}{n^2}}.$$

   Тогда

   $$\lim_{n\to\infty} y_n=\frac{12+0-0}{1-0+0}=12.$$

3. $$y_n=\frac{(3n-2)(2n+3)}{n^2}=\frac{6n^2+5n-6}{n^2}=6+\frac{5}{n}-\frac{6}{n^2}.$$

   Следовательно,

   $$\lim_{n\to\infty} y_n=6.$$

4. $$y_n=\frac{(1-2n)(1+n)}{(n+2)^2}=\frac{1-n-2n^2}{n^2+4n+4}.$$

   Разделим числитель и знаменатель на $$n^2$$:

   $$y_n=\frac{\frac{1}{n^2}-\frac{1}{n}-2}{1+\frac{4}{n}+\frac{4}{n^2}}.$$

   Тогда

   $$\lim_{n\to\infty} y_n=\frac{0-0-2}{1+0+0}=-2.$$

Ответ: а) $$2$$; б) $$12$$; в) $$6$$; г) $$-2$$.