Упр.24.32 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. Верно ли утверждение: а) если последовательность имеет предел, то она монотонна; б) если последовательность монотонна, то она имеет предел; в) если последовательность ограничена, то она имеет предел; г) если последовательность не монотонна, то она не имеет предела? Приведите примеры, подтверждающие или опровергающие это утверждение.

а) Утверждение неверно. Например, последовательность

$$a_n=\frac{1}{n-4}$$

имеет предел:

$$\lim_{n\to\infty} a_n=\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n-4}=0,$$

но она не является монотонной, так как

$$a_3=\frac{1}{3-4}=-1,\quad a_5=\frac{1}{5-4}=1,\quad a_6=\frac{1}{6-4}=\frac12,$$

то есть значения не убывают и не возрастают последовательно.

б) Утверждение неверно. Например, последовательность

$$a_n=n$$

монотонно возрастает, так как

$$a_{k+1}-a_k=(k+1)-k=1>0,$$

но предела не имеет, поскольку

$$\lim_{n\to\infty} n$$

не существует.

в) Утверждение неверно. Например, последовательность

$$a_n=\sin n$$

ограничена, так как

$$-1\le \sin n\le 1,$$

но предела не имеет.

г) Утверждение неверно. Например, последовательность

$$a_n=\frac{2}{n-3}$$

не является монотонной, так как

$$a_2=\frac{2}{2-3}=-2,\quad a_4=\frac{2}{4-3}=2,\quad a_5=\frac{2}{5-3}=1,$$

но предел у неё есть:

$$\lim_{n\to\infty}\frac{2}{n-3}=\lim_{n\to\infty}\frac{2/n}{1-3/n}=0.$$

Ответ

а) нет; б) нет; в) нет; г) нет.