Упр.24.25 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

а) Рассмотрим последовательность $$y_n=(-2)^n.$$

Найдём отношение соседних членов:

$$\frac{y_{n+1}}{y_n}=\frac{(-2)^{n+1}}{(-2)^n}=-2<0.$$

Значит, члены последовательности меняют знак, поэтому она не является монотонной.

б) Рассмотрим последовательность $$y_n=\cos\frac{\pi}{n+5}.$$

При увеличении $$n$$ дробь $$\frac{\pi}{n+5}$$ убывает и стремится к $$0$$, а функция $$y=\cos x$$ возрастает на промежутке $$\left(0;\frac{\pi}{6}\right].$$ Поэтому последовательность монотонно возрастает.

в) Рассмотрим последовательность $$y_n=n^3-5.$$

Найдём разность соседних членов:

$$y_{n+1}-y_n=((n+1)^3-5)-(n^3-5)=3n^2+3n+1>0.$$

Следовательно, $$y_{n+1}>y_n$$, то есть последовательность монотонно возрастает.

г) Рассмотрим последовательность $$y_n=\sqrt{n+8}.$$

Найдём отношение соседних членов:

$$\frac{y_{n+1}}{y_n}=\frac{\sqrt{n+9}}{\sqrt{n+8}}=\sqrt{\frac{n+9}{n+8}}=\sqrt{1+\frac{1}{n+8}}>1.$$

Значит, последовательность монотонно возрастает.

Ответ

а) не монотонная; б) монотонно возрастающая; в) монотонно возрастающая; г) монотонно возрастающая.