Упр.24.23 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

Какие из заданных последовательностей являются ограниченными?

а) $$\frac{1}{2},\ \frac{1}{3},\ \frac{1}{4},\ \ldots,\ \frac{1}{n+1},\ \ldots$$;

б) $$\frac{1}{2},\ \frac{3}{4},\ \frac{5}{6},\ \ldots,\ \frac{2n-1}{2n},\ \ldots$$;

в) $$5,\ -5,\ 5,\ -5,\ \ldots,\ (-1)^{n-1}\cdot 5,\ \ldots$$;

г) $$-2,\ 3,\ -4,\ 5,\ \ldots,\ (-1)^n(n+1),\ \ldots$$.

Рассмотрим каждую последовательность.

1. $$a_n=\frac{1}{n+1}$$

   Так как при $$n\ge 1$$ выполняется

   $$0<\frac{1}{n+1}\le \frac12,$$

   то последовательность ограничена снизу нулём и сверху числом $$\frac12$$.

2. $$a_n=\frac{2n-1}{2n}=1-\frac{1}{2n}$$

   При $$n\ge 1$$ имеем

   $$0<\frac{1}{2n}\le \frac12,$$

   значит,

   $$\frac12\le a_n<1.$$

   Следовательно, последовательность ограничена.

3. $$a_n=(-1)^{n-1}\cdot 5$$

   Значения последовательности равны только $$5$$ и $$-5$$, поэтому

   $$-5\le a_n\le 5.$$

   Следовательно, последовательность ограничена.

4. $$a_n=(-1)^n(n+1)$$

   Модуль членов последовательности равен

   $$|a_n|=n+1,$$

   а он неограниченно возрастает. Значит, последовательность не ограничена.

Ответ: ограниченными являются последовательности а), б), в); последовательность г) не ограничена.