Упр.24.22 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

Какие из заданных последовательностей ограничены сверху?

а) $$-3,-2,-1,0,1,\ldots$$;

б) $$1,-1,1,-2,1,-3,\ldots$$;

в) $$\frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{1}{4},\frac{1}{5},\frac{1}{6},\ldots$$;

г) $$\frac{1}{2},\frac{2}{3},\frac{3}{4},\frac{4}{5},\ldots$$.

а) Последовательность $$-3,\,-2,\,-1,\,0,\,1,\ldots$$ не ограничена сверху, так как её члены возрастают без границы:

$$a_n=n-4,\qquad \lim_{n\to\infty} a_n=\lim_{n\to\infty}(n-4)=+\infty.$$

Следовательно, сверху она не ограничена.

б) Последовательность $$1,\,-1,\,1,\,-2,\,1,\,-3,\ldots$$ ограничена сверху числом $$1$$, так как все её члены не превосходят единицы:

$$a_n=\begin{cases}1,& n=2k+1,\\ -\dfrac n2,& n=2k,\end{cases}\qquad k\in\mathbb N.$$

Значит, последовательность ограничена сверху.

в) Для последовательности $$\dfrac12,\ \dfrac13,\ \dfrac14,\ \dfrac15,\ \dfrac16,\ldots$$ имеем:

$$a_n=\frac1{n+1},\qquad \lim_{n\to\infty} a_n=\lim_{n\to\infty}\frac1{n+1}=0.$$

Все члены последовательности положительны и не превосходят первого члена $$\dfrac12$$, значит, она ограничена сверху.

г) Для последовательности $$\dfrac12,\ \dfrac23,\ \dfrac34,\ \dfrac45,\ldots$$:

$$a_n=\frac{n}{n+1}=1-\frac1{n+1},\qquad \lim_{n\to\infty} a_n=1.$$

Все члены последовательности меньше $$1$$, значит, она ограничена сверху числом $$1$$.

Ответ

Ограничены сверху последовательности б), в), г).