Упр.24.21 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

Какие из заданных последовательностей ограничены снизу?

а) $$1,\frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{1}{4},\ldots$$;

б) $$-1,2,-3,4,-5,\ldots$$;

в) $$\frac{1}{2},\frac{2}{3},\frac{3}{4},\frac{4}{5},\ldots$$;

г) $$5,4,3,2,1,0,-1,\ldots$$.

а) $$a_n=\frac{1}{n}.$$

Для всех $$n\in \mathbb{N}$$ имеем $$a_n>0$$, значит, последовательность ограничена снизу нулём.

Ответ: ограничена снизу.

б) $$a_n=(-1)^n\cdot n.$$

Члены последовательности принимают как положительные, так и отрицательные значения, причём отрицательные значения по модулю неограниченно возрастают: $$-1,-3,-5,\dots$$ Поэтому снизу последовательность не ограничена.

Ответ: не ограничена снизу.

в) $$a_n=\frac{n}{n+1}=1-\frac{1}{n+1}.$$

Так как $$\frac{1}{n+1}>0$$, то $$a_n<1$$, а наименьший член последовательности: $$a_1=\frac{1}{2}.$$ Следовательно, последовательность ограничена снизу числом $$\frac{1}{2}$$.

Ответ: ограничена снизу.

г) $$a_n=6-n.$$

При увеличении $$n$$ члены последовательности убывают без границы: $$5,4,3,2,1,0,-1,\dots$$ Значит, снизу она не ограничена.

Ответ: не ограничена снизу.