Упр.24.20 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. Найдите минимальный отрезок $$[a; b]$$ с целочисленными концами, которому принадлежат все члены последовательности: а) $$a_n=7-\frac{1}{n}$$; б) $$b_n=2+\frac{1}{2^n}$$; в) $$p_n=\frac{2n+1}{2n-1}$$; г) $$q_n=\frac{2n-1}{2n+1}$$.

а) $$a_n=7-\frac{1}{n}.$$

Так как $$n\in \mathbb{N},$$ то $$0<\frac{1}{n}\le 1.$$

Следовательно,

$$6\le 7-\frac{1}{n}<7.$$

Минимальный отрезок с целочисленными концами, содержащий все члены последовательности, — $$[6;7].$$

б) $$b_n=2+\frac{1}{2^n}.$$

Поскольку $$n\in \mathbb{N},$$ имеем $$0<\frac{1}{2^n}\le \frac12.$$

Тогда

$$2<2+\frac{1}{2^n}\le \frac52.$$

Значит, искомый отрезок — $$[2;3].$$

в) $$p_n=\frac{2n+1}{2n-1}=1+\frac{2}{2n-1}.$$

При $$n\in \mathbb{N}$$ выполняется $$0<\frac{2}{2n-1}\le 2.$$

Поэтому

$$1<p_n\le 3.$$

Минимальный отрезок с целочисленными концами: $$[1;3].$$

г) $$q_n=\frac{2n-1}{2n+1}=1-\frac{2}{2n+1}.$$

Так как $$n\in \mathbb{N},$$ то $$0<\frac{2}{2n+1}\le \frac23.$$

Следовательно,

$$\frac13\le q_n<1.$$

Искомый отрезок: $$[0;1].$$

Ответ

а) $$[6;7]$$; б) $$[2;3]$$; в) $$[1;3]$$; г) $$[0;1]$$.